“问题导学”让课堂更生动——“利用函数性质判定方程解的存在”教学设计

廉万朝　　　　　崔　莉

(陕西省三原县北城中学，210008)　(陕西省三原县南郊中学，210008)



“问题导学”让课堂更生动
——“利用函数性质判定方程解的存在”教学设计

廉万朝崔莉

(陕西省三原县北城中学，210008)(陕西省三原县南郊中学，210008)

“问题导学”是指教师在课堂教学中以问题为载体,通过问题的引导,学生在分析、解决一个个问题的过程中,积极地去思考、交流、探索、分享彼此的成果. 在问题的导引下,以学生熟知的背景、知识为依托,通过设计层层递进的问题(链),在学生不知不觉中,达到对新知识的发现,对数学思想方法的掌握. 在这个过程中,学生思维得到训练,思考问题的积极性、主动性得到提高,因此,“问题导学”有利于提高学生的认识问题、分析问题以及解决问题的能力. “问题是数学的心脏”,问题设计的好坏将直接影响着课堂的气氛,影响着学生的思维,影响着学生对新知识的理解和掌握,最终影响到学生的数学能力(认识问题、分析问题、解决问题的能力).

数学教学是数学活动的教学,是学生在各种数学活动中生成、拓展、提升与交流数学活动经验的过程,同时也是获得数学基础知识、基本基本能与基本思想的过程. “问题导学”就是在问题引导下,学生在解决一个个问题的过程中,得到数学的体验,获得数学的知识和技能,让学生活动贯穿于课堂的始终.

本文以高中数学北师大版必修1中的“利用函数性质判定方程解的存在”为例,谈谈“问题导学”下的课堂教学实践.

一、教材分析

本节课“利用函数性质判定方程解的存在”体现了函数性质与方程的联系. 首先,无论是初中所学的一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程,还是高中所学的简单指数方程、对数方程等,都是隐含着函数的性质的应用. 虽然初中对这些方程的函数性质体现得不是很明显,是基于所学函数知识的缘故,而高中所接触的简单的指数方程、对数方程,就是函数性质的明显应用. 其次,一元一次不等式,一元二次不等式,简单的指数不等式、对数不等式等,也是函数性质的具体应用. 本节课应该以“方程解的存在”为题,充分挖掘函数性质在解决方程、不等式中的作用.

基于以上分析,本节内容应以学过的方程、函数知识为基础,在方程中认识函数及其性质,从而对方程的认识更具体、更直观，在函数中认识方程、不等式的解. 将函数、方程、不等式三者紧密地联系在一起,使学生能从更高的层次认识函数,理解函数及其应用,也为函数在不等式、导数中的应用做好铺垫.

1.教学目标

(1)以熟悉的方程与相应的函数图象的关系认识,归纳出方程解的存在与函数值的变化之间的关系,并建立起方程、不等式、函数三者之间的联系;

(2)在建立函数、方程、不等式的过程中,体会数形结合的思想、类比转化的思想,从而用函数的观点去分析和研究方程问题.

2.教学重点

理解方程解的存在与函数的关系.

3.教学难点

从方程中抽象出函数模型.

二、教学过程设计

1.追溯源头,提出问题

问题1我们已经学习了一元一次方程；一元二次方程,简单的指数方程,如2x=1；对数方程,如lgx-1=0等,有些方程还有求解公式. 是不是所有方程都有求解公式?请举例说明.

生:不是. 如方程2x+x-2=0，3lnx-x=0等.

师:绝大多数方程没有求解公式. 那么,这些方程能解吗?怎么解?我们今天就来作一些初步探讨.

让学生完成下列表格

序号方程方程的解函数函数图象函数图象与方程解的关系12x-1=0y=2x-12x2-x-2=0y=x2-x-232x=14lgx-1=052x+x-2=0

问题2根据上述表格,方程的解与相应的函数有何关系?

生:方程1,2的解正好是相应函数图象与x轴交点的横坐标,方程3,4,5的解是…

师:对于方程3,4,若要构造函数,该如何构造?构造出的函数与相应方程解的关系是什么?

生1:可以构造函数f(x)=2x-1,g(x)=lgx-1,由基本函数y=2x,y=lgx图象向下平移1个单位,就得到上述函数图象,且图象与x轴交点的横坐标就是方程的解.

生2:也可以构造函数f(x)=2x与g(x)=lgx,其图象与直线y=1的交点的横坐标就是方程的解.

师:对于方程5呢?

教师用几何画板画出函数f(x)=2x+x-2的图象,通过图象观察,学生直观感知图象与x轴的交点的横坐标就是方程的解.

问题3只有少数的方程有求解公式,求解公式是解决特殊方程(一元一次方程、一元二次方程)解的一种工具,显然不是研究方程问题的“通法”.那么,研究方程问题的“通法”是什么?

生:构造函数,借助函数图象.

师:如何构造函数?怎样通过所构造的函数认识方程的解?

师:我们今天就用函数的性质来研究方程的解的情况,进而用函数的性质研究不等式的问题.

设计意图通过对上述表格的完善,将学生熟知的一元一次方程、一元二次方程、简单的指数方程、对数方程等的求解与相应函数图象的对比联系,让学生感知函数的性质才是认识方程解的“通法”.

2.引领探索,揭示联系

(1)利用函数图象,从“形”上直观感知方程解的存在

师:波利亚认为:“如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.”而与此相关的问题的思路和方法,往往是解决所提出问题的办法.

问题4我们用几何画板画出函数f(x)=2x+x-2的图象,能否利用所学函数的知识,通过函数图象,认识方程的解的存在?

生3:描点法,画出函数f(x)=2x+x-2的图象,观察图象与x轴的交点的横坐标就是方程的解.

生4:类似于生2的方法,画出函数y=2x和y=2-x的图象,两个图象的交点的横坐标就是方程的解.

师:虽然我们不会用“代数方法”求解方程5,但是我们可以利用函数的图象认识到方程5 有解.说明方程的解与函数有着紧密的联系,用代数的观点,是方程的解,那么,用函数的观点,如何定义?

生5:函数图象与x轴交点的横坐标.

生6:函数值为零时的点的横坐标.

师:回答得都很正确. 如果语言再精炼些,我们把它称为“函数的零点”即函数图象与x轴交点的横坐标..

问题5结合上面的认识,如何判断一个函数是否有零点?

生3:用描点法直接画函数图象,看看图象与横轴是否有交点.

生4:可将函数转化为两个基本函数(常函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),观察两个基本函数图象的交点,确定函数是否存在零点.

问题6判断下列函数是否存在零点?

f(x)=3x-x2;g(x)=lgx+x.

设计意图直观判断函数零点的存在,即方程解的存在.

师:结合上述问题的分析,你能归纳出用函数图象判断方程是否有解的规律吗?

师生一起归纳出:① 构造基本函数函数;② 画出函数图象;③ 观察图象,确定方程解的存在情况.

(2)通过函数值的计算,从“数”上认识函数零点的存在

问题7判断函数f(x)=3lnx-x是否存在零点?

设计意图提出一个很难判断的问题,就是想从“数”上认识函数的零点的存在性.

师：我们继续从熟知的问题入手,认识函数存在零点时,函数值的特点.

问题8以方程5为例,按照生3和生4的两种思路,如何从“数”上认识方程一定存在解,即函数存在零点?

生3:通过列表知,对于函数f(x)=2x+x-2,因为f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以函数f(x)在区间(0,1)内存在零点.

生4:观察函数g(x)=2x与函数h(x)=2-x的图象,因为g(0)h(2),所以方程5在区间(0,2)内有解.

师:其实生4的认识和生3实质上是一致的,能否归纳出“一致”的思路?

生:g(0)h(2)即g(2)-h(2)>0,也就是f(2)>0.判断f(x)=0在区间(0,2)是否存在零点,只需f(0)f(2)<0.

师:现在来解决问题7,判断函数的零点是否存在,若存在,找出零点所在的一个区间.

生:由于f(1)=-1<0,f(3)=3(ln 3-1)>0,所以存在零点,且在区间(1,3)内有零点,

师:由此可见,用图形研究函数零点直观,但很难入微,借助图形,利用函数值研究更具体,因此,很有必要探讨用函数值的符号来判断函数零点. 那么,哪位同学能概括出用函数值的符号判断函数零点的规律?

生:一般地,函数y=f(x)在区间(a,b)内,若f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.

师:一定吗?

生:不一定,如果函数y=f(x)在区间(a,b)内间断,就可能没有零点. 只有函数y=f(x)在区间(a,b)连续,才能保证.

师:函数y=f(x)在区间(a,b)内连续不断,且f(a)f(b)<0,真的就一定能保证函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点吗?

最后,师生一起归纳出:若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少存在一个零点,即方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.

师:若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相同,即f(a)f(b)>0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)一定不存在零点吗?

生:不一定,函数有可能在区间内存在零点,甚至不止一个.

师:正确！同时,如果函数存在零点,零点值是多少,这些问题我们在后面还将继续研究(二分法以及利用导函数性质时将做深入探讨).

3.归纳总结,揭示规律

问题9从“数”即函数值的符号上,从“形”即函数图象上,同学们能归纳方程解,亦即函数零点判定的方法步骤吗?(见图1)

4.方法应用,巩固成果

练习:判断下列函数f(x)是否存在零点,若存在,写出零点所在的一个区间，并说明理由.

(1)f(x)=-2x2+x+1;

(2)f(x)=3x-x2;

(3)f(x)=lnx+2x-6.

设计意图这样设计问题,不但让学生能从图象上直观认识,而且从函数值的计算上,准确定位零点的位置. 这是对本节所学的两种认识方程解,亦即函数零点的方法的巩固. 同时,第(1)个函数是二次函数,学生可以从解方程,函数图象,零点判定方法等多个角度解决,不但使所学的方法、思路得到巩固,而且使各个层次的学生都得到提高. 第(2)(3)个函数就是用函数的角度认识方程的解(函数零点)的能力的提高.

5.课堂小结

问题10本节课你的收获有哪些?还有哪些疑惑?

函数的零点问题:一个原理(零点存在性定理);两个方法(从“形”上观察零点的存在,从“数”上认识零点的存在);三个思想(函数与方程的思想、数形结合的思想、转化和化归的思想).

设计意图让学生明确本节课的重难点,方法、思路、数学思想及自己的疑惑.