2016年全国卷Ⅲ理科第20题别解与推广

刘才华

试题已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

这是2016年全国卷Ⅲ理科第20题，我们首先给出试题的一种新解法.

别解设直线AB：x=my+t与C：y2=2x相交于A（y212，y1），B（y222，y2），由x=my+t

y2=2x得y2-2my-2t=0……①.

（Ⅰ）若F在线段AB上，则t=12，①式变为y2-2my-1=0，则y1y2=-1.

于是R（-12，y1+y22），即R（-12，y1-1y12），即R（-12，y21-12y1），则AR=-（y21+12，y21+12y1）；

Q（-12，y2）即Q（-12，-1y1），F（12，0） ，则FQ=-（1，1y1）.由AR=y21+12FQ得AR∥FQ；

（Ⅱ）因为S△PQF=12PQ=12y1-y2，S△ABF=12t-12y1-y2，由条件得t-12=12，则t=1或t=0（舍），于是①式变为y2-2my-2=0.设AB中点为M（x0，y0），则y0=m，

x20=m2+1，

消去m得x0=y20+1，即AB中点的轨迹方程为y2=x-1.

通过探究我们发现：试题（Ⅰ）结论对于一般圆锥曲线都成立，得到圆锥曲线焦点弦的一个共同性质，用三个命题给出，并且命题的证明用到了如下引理.

引理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 .（引理易证，过程从略）.

命题1如图1，已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，过F作直线交C于A，B两点，过A，B分别作C的准线x=-p2的垂线，垂足为P，Q两点.若R是PQ的中点，则AR∥FQ.

图1图2证明如图1，延长射线AR交BQ所在直线于点H，由条件得AP∥BH.由R是PQ的中点得AP=QH.由抛物线的定义得AF=AP，BF=BQ.在△ABH中，由BFFA=BQQH及引理得AR∥FQ.

命题2如图2，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左（右）焦点为F，过F作直线交C于A，B两点，过A，B分别作C的左（右）准线x=-a2c（x=a2c）的垂线，垂足为P，Q两点.若R是PQ的中点，则AR∥FQ.

证明如图2，当F为左焦点时，延长射线AR交BQ所在直线于点H，由条件得AP∥BH.由R是PQ的中点得AP=QH.设椭圆的离心率为e，由椭圆的第二定义得AF=eAP，BF=eBQ.在△ABH中，由BFFA=BQQH及引理得AR∥FQ.

当F为右焦点时，同理可证.

命题3已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a，b>0）的左（右）焦点为F，过F作直线交C的左（右）支于A，B两点，过A，B分别作C的左（右）准线x=-a2c（x=a2c）的垂线，垂足为P，Q两点.若R是PQ的中点，则AR∥FQ.

命题3可以仿照命题2的证明方法证明.