高中数学教学设计五要素的有效互动

何起红

[摘 要] 高中数学教学设计是教学实际在教师思路中的预演，在此过程中重视学生、课标、教材、教师、教研组等五个要素，并侧重于研究五要素之间的互动，可以更好地促进学生进行数学知识与规律的建构，从而提高教学设计的有效性.

[关键词] 高中数学；教学设计；“五要素”；互动

数学教学设计是实施课堂教学的蓝本，是教师教学意图的系列化呈现. 通常情况下，数学教学设计往往更重视数学知识自身的逻辑体系，强调在原有数学知识基础上构建新的数学知识，这从知识形成的角度来说是合理的. 但这样的思路忽视了另外一个更重要的因素，那就是学生对数学知识的构建过程.而这个因素又可以引申为学生加工数学知识、学生在哪些共同体作用之下加工知识，加工什么样的数学知识等. 这就意味着教学设计需要走出原有的教学思路，从影响学生学习的要素等诸多维度进行. 本文以学生的学习为中心，以影响学生有效学习因素为研究对象，尝试探讨学生、教师、课标、教材、教研组等五个要素对数学教学设计的影响，以及如何通过五要素之间的可能互动促进学生的有效学习.

教师与课标的互动，为有效教学设计奠基

课标是课程标准的简称，课程标准是国家对学科教学意图的纲领性描述，课程改革以来，对课标的关注较多但真正研究课程标准的实际上并不多，因为教师常常感觉课标上的那些描述过于宏观甚至空洞，不足以对实际教学有支持性的作用. 应当说在应试背景下这样的认识有其合理性，但从学生有效学习以及更好地理解课程意志的角度来看，这样的认识显然是偏颇的. 实际上在对课程标准的关注过程中，可以提升教师的教学认识，可以拓展教师的教学视野，从而为有效的教学设计奠定坚实的基础.

比如说，课程标准开篇即给出“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具.” 其给出的指导性意义，就是数学学科的工具性意义，而且其描述的对象不仅是自然规律，也包括社会规律.这对实际教学意味着什么，在笔者看来至少有这样的一层含义，那就是在实际教学中向学生呈现事例的时候，即可以是自然事例，也可以是社会事例. 如在向量教学中，为了建立向量概念，可以向学生提供自然中的斜抛运动，然后让学生基于相互垂直的方向去分解运动中物体的速度或者是物体受到的力；而在概率、统计等知识的教学中，则可以向学生提供大到国家经济的宏观数据、小到箱中摸不同颜色的球的事例；而在函数知识的学习中，则可以电信运营商的套餐标准为例建立不同函数模型，以判断最合适的套餐，甚至还可以模拟精算师，以建立不同的数学模型，来提升数学知识的应用能力.

结合课程标准，这样的理解应当说非常丰富. 数学教师一定要高度重视对课标的研究，尤其是要重视自己的教学经验（关于借鉴他人经验将在第四点中阐述）与课标的有效互动，即用自己的经验去理解课程标准语言描述背后的存在的数学教学意义. 同时需要强调的是，与课标的互动意味着对课程标准不是单向的接受，因为那样容易让自己的教学设计心理处于从属地位，而积极地研究课程标准，结合数学教育的最新理念理解课程标准，往往还可以在研读过程中有新的发现甚至是新的突破，这才是与课标互动的应有景象.

教师与教材的互动，为有效学习设计培元

教师与教材的互动，关键在于教师有效地把握教材的意图. 教材可以理解为教材编写者内化课程标准的结果，同时也反映着教材编写者对数学教学思路的把握. 课程改革以来，高中数学教材一方面继承了中国数学教育的传统，另一方面又将课标的精神充分体现了出来，那么教师在面对教材的时候能否读懂这背后的深意，值得深思. 笔者以为，读懂教材，就可以为有效的教学设计培育元气.

在人教版“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”（必修4）的教材中，安排了结合章头图的实际问题——建在一座小山上的电视发射塔，给出了小山的高度与A、C两点及其两点之间的距离，另加一个观测发射塔的视角，要求发射塔的高度. 从纯粹的数学习题解答角度来看，这一设计就是一个纯粹的数学习题，用以引入两角和与差的正弦、余弦和正切公式，没有什么特别的意义. 但若从教材编写的角度来看——也就是去研读教材编写者的意图，你会发现这实际上是基于两角和与差的正弦、余弦和正切公式在实际情形中的运用思路而编写的，更重要的是，在这个例子的背后呈现出本知识应用的一般思路，即从现实中选择相应的问题，然后通过数学抽象使之成为一个数学模型，然后利用数学工具进行解题. 在此过程中，提供哪些已知量才能求得电视发射塔的高度，实际上也是精心设计过的. 而在实际教学设计中，其实可以将之做进一步的改进，如向学生提出问题：要想测出电视塔的高度，可以借助于什么样的数学知识，需要测出哪些量？这样的探究式教学设计，更有助于学生在更广阔的思维空间里理解正弦、余弦以及正切知识.

根据笔者的经验，在教学设计过程中与教材互动需要一个前提，那就是不要急着研究参考书，而应该先对教材的主干知识进行提取，然后自己去思考：如果是自己编写教材或者说设计教学，那自己会采取哪些思路？如“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”这一节当中，教材在引入之后，重点是“两角差的余弦公式”，而给出的引导性问题则是：如何用角α、β的正弦、余弦值来表示cos（α-β）呢？那笔者在此时就对这一问题产生了兴趣，笔者以为尽管本课要研究的是这个问题，但这个问题的提出有没有更为适合学生的方式？在几经实践之后，笔者给出的问题是：对于60°和45°角的余弦值，同学们是熟悉的，那你们能不能基于这两个特殊角的正弦或余弦值，来求出15°角的余弦值呢？这个例子相对于教材的例子而言，由于有了具体数值，因此学生在思维的时候往往更为顺利，尤其是对于相当一部分基础一般的学生而言，这种具体的例子的效果往往比一般性的例子要好. 这样的设计实际上是降低了教材设计的门槛，同时又在学生的思维中筑牢了一个具象基础，因而往往效果更好.

师生之间互动预设，为有效教学设计固本

在上一点的阐述当中，实际上体现了一个思路，那就是教学设计的过程中要重点考虑学生这一因素. 由于教学设计先于教学实施，因此在设计过程中教师更需要关注的是预设课堂上可能存在的师生互动，如果教师的预设能够基于学生的实际基础，且有着明确的目标指向，那就可以让后续的教学过程更为顺利，从而巩固了教学的根本.

师生之间的互动预设实际上有两个基础：一是教师对学情的掌握情况；二是教师对自身教学风格的把握. 传统数学教学设计就高度重视学情研究，只不过从课程改革视角下来看，对学情的把握维度有所变化而已，笔者以为当前对学情的研究依据，应当基于建构主义的学习观，要重点关注学生是如何建构数学知识的. 譬如上面笔者提出的在一般性事例先分析具体事例的思路，实际上就是发现在此前的教学过程中，学生对于一般性事例中的符号的思维加工难度相对更大，而如果有一个具体性的事例——cos（60°-45°），那学生的思维可以更多地借助于形象思维，从而形成一个两角差的余弦公式的事例性基础. 有了这个基础再利用抽象思维进行一般事例cos（α-β）的加工，那这个过程就顺利得多，学生掌握的效果也好得多. 后来的教学实践也表明，这样的改进确实具有为学生的思维提供阶梯的效果.

而教师对自身教学风格的把握也很重要，因为在教学设计中预设师生互动，实际上是将课堂教学中可能的情形进行一个预演，那教师就要考虑自己是适合讲授的，还是适合引导学生探究的；是适合幽默语言风格的，还是习惯直白性讲述的，不同的特点决定着课堂上师生互动的过程，其结果也是有所区别的. 把握住了学生与自己的特点与风格，一般来说就会对学生的学习过程有一个有效的掌控，从而提高教学设计的有效性.

教研组内有效互动，为有效教学设计寻智

这是一个强调合作的社会，以集体备课为特征的教研组活动方式，正在得到广泛的认同. 相对于集体备课而言，需要考虑组内小范围的互动，因为这种情况下，个人的观点往往更容易呈现出来而不必顾虑太多的不同声音——其背后的原因就在于小范围内，讨论对象的从众心理不容易发生负面作用，这是一个复杂的心理学问题，此不赘述，但是关注到这一点，有利于同一教研组内互动提质增效.

基于以上认识，笔者在教研组内的互动方式更多的是组内两三个人的深入研讨，或者借助聊天软件进行研讨，前者以有声语言呈现即时思路，后者以文字呈现相对严密的思路. 在这样的互动过程中，不同的教学思路往往可以有效碰撞，从而产生教学智慧.如指数函数教学中，是用折纸的方式引入，还是用国王下棋赏赐大米的故事引入，笔者与组内同行就进行过深入的讨论，最终结论却又回到第三点：根据学生的思维特点来确定——前者侧重于体验，而后者需要想象.

综上所述，高中数学教学设计离不开对五要素及其互动的关注，作为预设的教学设计的有效性，往往也就体现在对五要素的互动研究过程中.