任意三角形均匀带电线框的空间电势和空间电场计算

邝向军，廖 旭

（西南科技大学理学院，四川绵阳 621010）

任意三角形均匀带电线框的空间电势和空间电场计算

邝向军，廖 旭

（西南科技大学理学院，四川绵阳 621010）

从均匀带电直线的电势出发，采取分段计算然后叠加的方法，首先导出均匀带电任意三角形线框的空间电势表达式，然后，利用电场强度与电势梯度的关系，进而导出了均匀带电任意三角形线框的空间电场表达式，并讨论了均匀带电正三角形线框和中心轴线上的特殊情况.

均匀带电任意三角形线框；分段计算；空间电势分布；空间电场分布

一定电荷分布所产生空间电势和空间电场的计算一直是电磁学中的一个重要问题，在各种不同的电荷分布中，具有较高对称性的均匀电荷分布特别是圆电荷分布的电场研究得比较多［1-11］，方法也多种多样，而对不具有对称性或对称性较低的电荷分布的电场则研究得很少［12］.文献［12］采用矢量场旋转操作，对任意三角形线电荷的电场进行了研究，给出用旋转矩阵表示的空间电场表达式.方法虽然巧妙，但是，比较抽象，不适合在大学物理教学中应用.所给出的电场分布中含有旋转矩阵，不是直接完全表示为空间坐标的函数，使用起来不是很方便.此外，迄今为止也没有看到关于任意三角形线电荷的空间电势分布研究的文章.基于以上的情况，本文从有限长均匀带电直线的空间电势出发，对均匀带电任意三角形线框的电势和电场强度进行了研究.首先得到了其表示为空间坐标函数的空间电势表达式，进而利用电场强度与电势梯度的关系，得到了同样表示为空间坐标函数的空间电场表达式，并对正三角形线框和中心轴线等特殊情况进行了讨论.

1　空间电势的计算

一均匀带电直线，电荷线密度为λ，长为2l.取带电直线的中点为坐标原点，建立如图1所示的平面坐标系Oxy，取无穷远处为电势零点位置，则该带

图1　有限长均匀带电直线的空间电势计算

电直线上的dx′在任意场点P（x，y）产生的电势为

不难得到该均匀带电直线在P（x，y）产生的电势为

这一表达式与文献［13］中的结果完全一致.其中的r1和r2分别是场点P到带电直线两端的距离，α1和α2分别是带电直线两端r的方向与x轴正方向的夹角.

图2　均匀带电三角形线框的空间电势计算

将上述两式代入式（2）后，可得

对于BC边，有

将式（6）、（7）、（8）代入式（2）后可得

对CA边，有

同样将式（10）、（11）和式（12）代入式（2）后可得根据电势叠加原理，P点的电势等于每条边在该点产生的电势的代数和，即UP=UAB+UBC+UCA，只需将式（5）、式（9）和式（13）代入即可得到P点电势的具体表达式.

2　空间电场的计算

利用式（14）、（15）和式（16），可得：

根据电场强度与电势梯度的关系，有

将式（18）—式（26）依次代入上式即可得到电场强度的空间表达式.

对于正三角形线框，有l1=l2=l3=l，，代入式（18）—式（26）后可得：

同样只需依次将式（28）—式（36）代入式（27）即可得到均匀带电正三角形线框的空间电场强度表达式.

这与文献［14］中的结果完全一致.

若z＞＞l，则可将上式中的l2略去，从而得到均匀带电正三角形线框在远区产生的电场强度为

其中的q=6λl为三角形线框的总电量.显然，此时可将三角形线框视为一个位于正三角形中心、电量为q的点电荷.

3　总结

从一段均匀带电直线的电势表达式出发，首先导出了均匀带电任意三角形线框的电势随空间坐标变化的普遍表达式，然后，利用电场强度与电势梯度的关系，导出了其电场随空间坐标变化的普遍表达式，并对正三角形线框和中心轴线上的特殊情况进行了讨论，方法简单、明了，易于理解，结果具体、明确、便于应用，完全可以在大学物理教学中应用.

致谢：这一工作得到了西南科技大学重点教改项目（13xnzd14）的资助.

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Electric potential of triangle uniformly charged coil and electric field calculation

KUANG Xiang-jun，LIAO Xu
（School of Science，Southwest University of Science and Technology，Mianyang，Sichuan 621010，China）

Using the formula of electric potential distribution for uniformly charged wire and considering the triangle charged coil to be three charged wires，the electric potential space distribution of the triangle charged coil is derived.Then，using the relationship between the electric field intensity and electric potential gradient，we get the electric field space distribution for triangle uniformly charged coil.At last，some special cases of the electric potential distribution and electric field space distribution for the uniformly triangle charged coil are discussed.

triangle uniformly charged coil；subsection calculation；electric potential distribution；electric field distribution

O 441

A

1000-0712（2016）09-0007-05

2015-10-14；

2016-03-03

西南科技大学重点教学改革项目（13xnzd14）资助

邝向军（1967—），男，湖南永州人，西南科技大学理学院教授，博士，主要从事凝聚态物理和大学物理教学研究工作.