对四端蛛网电阻网络等效电路的研究

刘松山

（河南艺术职业学院教务处，河南郑州 451464）

对四端蛛网电阻网络等效电路的研究

刘松山

（河南艺术职业学院教务处，河南郑州 451464）

对电阻不相等的2×4阶蛛网电路，应用星形电路与多角形电路的等效互换方法和构建等效条件方法，将其等效为最简单的电路.计算了该电路A1—A4端钮之间的等效电阻，并用Multisim 12中的万用表对原电路和等效电路的A1—A4端钮之间的等效电阻进行了仿真测量.结果是理论计算与仿真测量结果一致.分析了3×4阶蛛网电阻网络的等效电路问题.这项研究的目的是把电阻不相等的四端蛛网电阻网络等效化简为在四端星形电路外端钮之间接有1～2个电阻的电路，以利于分析计算.介绍了对电路等效的一种新方法，即应用星形电路与多角形电路等效互换方法和构建等效条件方法，可以解决含有一般星形电路或多角形电路的等效化简问题.

蛛网模型；等效变换；星形电路；多角形电路

等效变换广泛应用于电路研究的各个领域，对电路等效的研究在实际应用中有着重要意义［1］.文献［2］对各电阻相等的2×n阶蛛网模型，采用网路分析和矩阵变换的方法，对A、O之间等效电阻的计算公式进行了研究，而对外端钮之间等效电阻的计算方法未做研究.若该蛛网模型中的电阻不全等，计算A、O之间等效电阻的公式将无法使用.本文应用星形电路与多角形电路的等效互换方法和构建等效条件方法，对电阻不相等的2×4阶蛛网电阻网络如图1（a），进行了等效分析，得出它的最简单的等效电路如图1（k）.计算了该电路A1—A4端钮之间的等效电阻，并用Multisim 12中的万用表对图1（a）和图1（k）电路A1—A4端钮之间的等效电阻进行了仿真测量.结果是理论计算与仿真测量结果一致.这项研究的目的是把电阻不相等的四端蛛网电阻网络等效化简为在四端星形电路外端钮之间接有1～2个电阻的电路，以利于分析计算.并通过此例介绍对电路等效的一种新方法，即应用星形电路与多角形电路等效互换方法和构建等效条件方法，解决含有一般星形电路或多角形电路的等效化简问题，扩展Y-△变换方法［3］的应用范围.此方法适用于对无源多端网络的等效变换.

1　等效化简的基本理论

星形电路等效多角形电路的公式：Gjk=GjGk/（G1+G2+…+Gn），其电阻形式的公式为

多角形电路等效星形电路的公式［4］为

得，G13/G23=K/G12，G14/G24=K/G12，G34=G13G14/K，Gif=Gfi.当i=2时，f≠g，f、g∈｛1，3，4｝有

因此，GifGig/Gfg的各项相等.同理可证：i取3或4时，GifGig/Gfg的各项也相等.故此结论成立.

GifGig/Gfg的电阻形式的式子为Rfg/RifRig.当某个多角形电路不满足式（2）的等效条件时，该电路不能等效成星形电路.对于这类多角形电路，因为Rfg/RifRig中的Rfg各项相对独立，用分解电阻的方法［5］，把Rfg分解为两个电阻的并联，通过改变某项Rfg/RifRig中Rfg的值，使式（2）的等效条件得到满足，这类多角形电路可以等效成在星形电路的外端钮之间接有电阻的电路，此方法称作构建等效条件法.下面对图1（a）电路进行等效分析.

2　对2　×4　阶蛛网电阻网络的等效分析

四端蛛网电路之一如图1（a），是m×4阶蛛网电路中m=2的情况（从B1—B4到O之间第一层，B1—B4与A1—A4之间是第二层，因此，m=2），电路中各电阻值一般不相等.为了简便计算过程，设r0= 1 Ω，r=4 Ω，R=6 Ω.下面分析图1（a）电路的等效电路，并计算A1—A4端钮之间的等效电阻.

把接于节点O星形连接的4个r0电阻等效为多角形连接，由式（1）得

同理，Rb13=Rb14=Rb23=Rb24=Rb34=4 Ω.为了简便把图1（a）中B1—B4之间以内的电路抽出画成图1（b），B1与B2、B2与B3、B3与B4、B1与B4之间的并联电阻分别为Rc12=Rb12//r=2 Ω，Rc23= Rb23//r=2 Ω，Rc34=Rb34//r=2 Ω，Rc14=Rb14//r=2 Ω.若把图1（b）的多角形电路等效为星形电路，可以进一步等效图1（a）电路.应用式（2）的等效条件分析图1（b）电路，因为

不全相等.在此应用构建等效条件法，分解电阻Rb24为R′c24和R″c24并联，用R′c24代替Rb24，让R′c24/Rc12Rc14= 0.25 S，解得R′c24=1Ω，以及R″c24=Rb24R′c24/（R′c24-Rb24）=-4/3 Ω，图1（b）电路等效为图1（c）电路.在该电路中除R″c24之外的多角形电路满足式（2）的等效条件，把此多角形电路等效为星形电路，由式（2）得

同理，Rd3=2/3 Ω，Rd4=1/3 Ω.把Rd1、Rd2、Rd3和Rd4分别接在图1（a）的B1、B2、B3和B4端钮上，并把R′c24并联在B2与B4之间如图1（d）.把该电路中组成三角形电路的Rd2、Rd4和R″c24等效成星形连接，接在端钮P、B2、B4的电阻分别为：

合并图1（d）电路中的串联电阻，该电路等效为图1（e）电路，其中

把图1（e）电路中星形连接的RP、Re2和Re4等效成三角形连接，如图1（f）所示，其中

由式（1）把图1（f）内部的星形电路等效为多角形电路如图1（g），其中

同理，Rg23=Rg34=Rg14=6 Ω，Rg24=4.8 Ω.合并图1（g）中的并联电阻，图1（g）电路等效为图1（h）电路，其中

同理，Rh34=Rh14=Rh23=2.4 Ω.对图1（h）电路应用式（2）的等效条件分析，因为

不相等，在此分解电阻Rh23为R′h23和R″h23并联，分解Rh34为R′h34和R″h34并联，用R′h23代替Rh23，用R′h34代替Rh34，让R′h23/Rh12Rg13=R′h34/Rg13Rh14=25/24 S，解得R′h23=23.4375 Ω，R′h34=18.75 Ω以及

图1（h）电路等效为图1（i）电路，把该电路中除R″h23和R″h34之外的多角形电路等效成星形电路如图1（j）.其中

同理，R3=625/154 Ω，R4=100/77 Ω.把图1（j）中三角形连接的R2、R3和R″h23等效为星形连接如图1（k）电路.其中

图1（a）电路等效为图1（k）电路.图1（k）电路是无法再化简的四端网络，它是图1（a）电路最简单的等效电路之一［也可分解图1（h）中的Rh24和Rh34进行等效］.图1（a）电路A1—A4端钮之间的等效电阻由图1（k）电路对应端钮得

同理，R13=R24≈1.8970 Ω，R14=R23≈1.5434 Ω.

图1　2×4阶蛛网电阻网络的等效交换

3　仿真测量与理论分析的比较

Multisim 12具有强大的测试功能和可信的测试结果.下面应用该程序进行仿真测量.

1）对图1（a）电路的仿真测量.用Multisim 12中的万用表测量该电路A1—A4端钮之间的等效电阻为：R12测≈1.726 Ω，R34测≈1.518 Ω，R14测=R23测≈1.543 Ω，R13测=R24测≈1.897 Ω.

2）对图1（k）电路的仿真测量.用Multisim 12中的万用表测量该电路A1—A4端钮之间的等效电阻为：R′12测≈1.726 Ω，R′34测≈1.518 Ω，R′14测=R′23测≈1.543 Ω，R′13测=R′24测≈1.897 Ω.

3）比较讨论.因为，仿真测量1）和2）的测量结果相同，所以，图1（k）是图1（a）电路的等效电路.又因为，对图1（k）电路A1—A4端钮之间等效电阻的理论计算与仿真测量的结果，在误差范围之内相等，即：R12≈R12测、R13≈R13测、R14≈R14测、R23≈R23测、R24≈R24测、R34≈R34测，所以，把图1（a）电路等效成图1（k）电路的理论分析正确.

4　分析四端蛛网电阻网络的等效电路

因为，3×4阶蛛网电阻网络相当于把图1（a）电路中B1—B4之内相连接的电阻去掉，让B1—B4端钮分别与图1（k）电路的A1—A4端钮连接的电路如图2（a），因此，对3×4阶蛛网电阻网络的等效变换，相当于对图2（a）电路进行等效分析.在图2（a）电路中，把接在节点A4上的电阻R4、r0和R″h34以及接在节点O1上的电阻R′、R′3和R′2+r0分别等效成三角形连接，等效电路如图2（b），在节点O2与A3之间有两个并联电阻合并为r3.把图2（b）中接在节点O2上的电阻r1、r3、r4和r0+R1用式（1）等效成多角形连接如图2（c）电路，合并R、r6为r12，合并r、r9为r13，把图2（c）中接在节点A3上的电阻r7、r8、r10和r0用式（1）等效成多角形连接如图2（d）电路，其中r19是r11与接在C2、C4之间的另一个电阻的等效电阻.接下来的变换方法与图1（h）至（k）电路相同，只是与图1（h）和（k）中电阻的值不同，端钮A1—A4分别改成C1—C4.当对图1（h）电路应用式（2）的等效条件分析时，因为，式（3）中最多是三个式子不相等，应用构建等效条件法，最多需要分解两个电阻就满足式（2）的等效条件，因此，图2（a）电路的等效电路一般与图1（j）或（k）电路的结构类似；若式（3）中有两个式子相等，只需分解一个电阻（如Rh34），图1（h）电路的等效电路为图1（j）中没有R″h23的电路；若式（3）的三个式子相等，图1（h）电路的等效电路如图1（j）中没有R″h23和R″h34的电路，此情况一般没有.

当m=4，5，…，m取限值时，对这些四端蛛网电阻网络等效分析的方法与对3×4阶蛛网电阻网络等效分析的方法相同，所得等效电路也相同.所以，四端蛛网电阻网络的等效电路一般是，在四端星形电路外端钮之间接有1～2个电阻的电路，与图1（j）或（k）的电路类似.

图2　对四端蛛网电阻网络等效电路的预测分析

5　结论

本文应用星形电路与多角形电路等效互换方法和构建等效条件方法，把电阻不相等的2×4阶蛛网电阻网络等效为最简单的等效电路如图1（j）或（k）.对四端蛛网电阻网络进行等效化简的基本方法是，从蛛网电路的内层向外逐层进行等效化简.其等效电路一般是，在四端星形电路外端钮之间接有1～2个电阻的电路.

用Multisim 12中的万用表对图1（a）和图1（k）电路A1—A4端钮之间等效电阻的仿真测量结果相同，并与图1（k）电路对应端钮之间理论计算的等效电阻值在误差范围内也相等.由此可见，本文介绍的应用星形电路与多角形电路等效互换方法和构建等效条件方法，解决含有星形电路或多角形电路的等效化简问题的新方法正确.该方法将有广泛的应用价值.此方法也适用于把电阻R改成阻抗Z的无源多端网络的等效分析.

从图1的电路图中可以看出，通过对电路进行等效变换，可以把平面电路等效成非平面电路，也可以把非平面电路等效成平面电路.由此得出一个结论：通过等效变换可以使平面电路与非平面电路相互等效.

［1］ 谭志中，陆建隆.多边形电阻网络等效电阻的统一建构［J］.河北师范大学学报（自然科学版），2011，35（2）：140-144.

［2］ 谭志中.2×n阶蛛网模型的等效电阻公式及2个猜想［J］.大学物理，2013，32（4）：16-21.

［3］ 邱关源.电路［M］.4版.北京：高等教育出版社，1999.

［4］ 刘松山.对星形-多角形电路等效变换的研究［J］.大学物理，2014，33（11）：15-19.

［5］ 刘松山.基于对称性研究2×n阶梯形电阻网络等效电阻［J］.大学物理，2015，34（1）：26-29.

Investigation on the equivalent circuit of four-terminal cobweb resistance network

LIU Song-shan
（Dean’s Office，Henan Arts Vocational College，Zhengzhou，Henan 451464，China）

The equivalent transformation method for star circuit and polygon circuit and the equivalent condition construction method are applied to the 2×4 order cobweb circuit with different resistance，in which the circuit is termed into a simplest equivalent one.The equivalent resistances at A1—A4are calculated，and the Multisim 12 multi-meter is used to get a simulative test of the former circuit and equivalent resistances between A1—A4terminals.The results show that the theoretical calculation and the simulative test are consistent.The equivalence circuit problem of the 3×4 order cobweb resistance network is analyzed.The 4-end cobweb resistance network with different resistance can be simplified as a 4-end star circuit with 1 or 2 resistances between terminals，which is convenient for calculation.A new method is given for circuit equivalence.According to the method，the equivalent transformation method between star circuit and polygon circuit and equivalent condition construction method can be used to solve the problem of the equivalent simplification between general star circuit and polygon circuit.

cobweb model；equivalent conversion；star circuit；polygon circuit

O 441.1

A

1000-0712（2016）09-0012-04

2015-11-17；

2016-03-12

河南省自然科学基金研究项目（152300410213）资助

刘松山（1958—）男，河南郑州人，河南艺术职业学院副教授，主要从事电路理论教学与应用研究工作.