基于改进传递矩阵法的环肋圆柱壳固有振动分析

许瑞阳，王献忠，吴卫国

基于改进传递矩阵法的环肋圆柱壳固有振动分析

许瑞阳，王献忠，吴卫国

（武汉理工大学 交通学院，武汉 430063）

为了简化传统传递矩阵法中状态向量一阶微分方程复杂推导和得到不同边界条件下环肋圆柱壳的振动特性，基于Flügge壳体理论，通过采用改进传递矩阵法改进状态向量的选取，直接快速地从振动方程推导出圆柱壳结构场传递矩阵，并对场传递矩阵使用精细积分求解。根据环肋和壳体连接处变形连续条件导出环肋处点传递矩。最后通过自由、简支、固支三种不同边界条件下环肋圆柱壳固有频率计算结果与有限元计算结果进行对比，验证了改进传递矩阵法进行环肋圆柱壳振动分析有效性和适用性。

振动与波；改进传递矩阵；环肋圆柱壳；精细积分；振动分析

圆柱壳被广泛应用于船舶、航空航天、建筑、机械等实际工程领域，通常通过加筋和环肋来增加其稳定性和强度从而减轻结构重量，与一般圆柱壳相比，加筋圆柱壳的自由振动要复杂得多。目前，国内外学者对环肋圆柱壳的振动进行了相关的研究，如能量法［1-2］、平摊法［3］等，这些方法多用于肋骨尺寸较小的密加筋，且多为简支边界。陈美霞基于波动法用圆环板模型来处理任意尺寸的环肋，但文中未考虑周向波数为0的情况［4］。

传递矩阵法适用于分析链式结构的振动特性，其突出特点是无需假设振动函数和便于处理复杂边界条件。Irie等用壳模型的传递矩阵法研究了变厚度圆锥壳［5］、锥柱结合壳［6］的自由振动特性。彭旭将传递矩阵法应用到短粗环肋圆柱壳中，但只考虑了环肋面内作用和简支一种边界［7］。王献忠在计算环肋圆锥壳的时候考虑了环肋的面内面外作用［8］。由于壳体的传递矩阵推导十分麻烦，且易出错，万浩川提出了一种改进的传递矩阵法，直接从壳体振动方程出发快速推导出传递矩阵，十分方便［9］。本文在文献［9］的基础上，采用改进传递矩阵法快速推出环肋圆柱壳的场传递矩阵，并根据壳体面板和环肋连接处的力和位移连续条件，考虑了环肋的面内剪切和拉伸、面外弯曲和扭转四种形式的振动，且推导出了环肋处的点传递矩阵。又改进传递矩阵法得到的齐次方程的解，通过采用精细积分法［10］求解计算来提高计算精度。最后通过对简支、自由、固支三种边界下圆柱壳和环肋圆柱壳的数值计算和有限元计算结果进行对比，表明了本文方法推导简单快速，可适用于不同的边界条件，并能获得环肋圆柱壳高精度的固有频率和振型。

1　基本理论和推导

1.1圆柱壳段的改进场传递矩阵

圆柱壳采用柱坐标系，壳体参数、位移如图1所示，图中：x和θ分别为柱坐标系轴向和周向坐标；R为壳体半径；u、v、w、θ分别为圆柱壳的轴向位移、周向位移、径向位移及转角，h为壳体厚度，L为壳体长度。

图1　圆柱壳坐标系

基于Flügge壳体理论，圆柱壳的振动方程为

其中E为弹性模量，μ为泊松比，ρ为密度。

对于轴向半波数为m，周向波数为n的简谐响应。可以假设方程式（1）的解为

式中ωmn为圆频率；t为时间；U（x）、V（x）、W（x）为轴向x的函数。

将式（2）代入式（1）中可以得到

式中C为8×8的系数矩阵，8阶矩阵C中的非零元素可以由式（3）容易得到。

方程（4）的解为

壳体的8个边界量为η=｛u v w φ MxVxSxNx｝

把式（2）代入边界量表达式中可得

由式（6）可得

根据式（6）很容易推导出8阶矩阵A中的非零元素。

矩阵A为状态向量与边界量之间的关联矩阵，所以

令Tc=AeCxA-1，则Tc为改进的场传递矩阵，通过引入关联矩阵A，使得求解更加简单。

1.2圆柱壳改进场传递矩阵的精细积分求解

为了得到高精度的改进场传递矩阵计算结果，对eCx采用精细积分进行计算，具体步骤如下

式中I8为8阶单位矩阵，由于Ta为非零元素为小量，I8和Ta相加时，数值计算会因为舍入误差导致精度散失，所以在实际计算时候，先考虑对Ta使用加法定理计算。

所以可以执行下面的编程语句

经过S次循环可以直接求解得到

1.3环肋处的改进点传递矩阵

由于环肋的存在将改变环肋处圆柱壳的位移和力，为了推导环肋的力-位移关系，根据壳体面板和环肋处的位移连续条件，首先得到环肋截面质心的位移分量和壳体中面位移分量之间的关系可以表示为式（14）

式中u*、v*、w*、φ*为环肋截面质心的位移分量，u、v、w、φ为壳体中面位移分量，e为偏心距，内肋取负号，外取正号；Rr=R+e，为肋骨形心半径。

圆柱壳对环肋的反作用力与力矩，以及环肋对圆柱壳力矩之间的关系应该满足

环肋对圆柱壳壳体的反作用力、反力矩与圆柱壳的振动位移有关。当圆柱壳运动时，与圆柱壳体连接的环肋会做四种形式的振动，即面内弯曲和面内拉伸振动，面外弯曲和面外扭转振动。将四种振动形式的环肋运动方程代入式（15）可以导出位移和力之间的关系

式中Ix、Ir、Iρ和J分别为环肋对纵向、径向对称轴的惯性矩、对极轴的惯性矩和扭转常数；Ar、ρr、Er和G分别为环肋的截面积、密度、弹性模量和剪切模量。

当环肋存在位于xk时，将导致两个面内力和两个面外力发生变化，所以应满足下面的条件

1.4环肋圆柱壳的总传递矩阵

当环肋圆柱壳结构有n个分段的时候，则环肋圆柱壳的总传递矩阵可以表示为

其中ηR为右端状态矢量、ηL为左端状态矢量、T为传递矩阵。

1.5边界条件

1）若两端为简支

则两端v=w=Nx=Mx=0

可得det|T1|=0

2）若两端自由

则两端Nx=Mx=Vx=Sx=0

可得det|T2|=0

3）若两端为固支

则两端u=v=w=φ=0

可得det|T3|=0时符合

2　数值计算

为了说明本文方法的可靠性，分别对圆柱壳和环肋圆柱壳的固有振动算例分别进行了Matlab编程计算并与有限元软件Abaqus计算结果进行对比，算例如下：

算例1：

圆柱壳参数：壳体材料的杨氏模量为2.1×1011Pa，泊松比为0.3，材料的密度为7 850 kg/m3，圆柱舱段的长度为1 m，半径为0.5 m，壳体厚度为0.005 m。计算结果如表1所示。

表1　圆柱壳固有频率计算结果与有限元结果对比/Hz

算例2：

环肋圆柱壳参数：壳体材料的杨氏模量为2.1× 1011Pa，泊松比为0.3，材料的密度为7 850 kg/m3，圆柱舱段的长度为1 m，半径为0.5 m，壳体厚度为0.005 m。环肋宽度为0.002 m，环肋高度为0.025 m，环肋数为4根，环肋材料与圆柱壳体材料相同。计算结果如表2所示。

从表1可以看出，采用改进传递矩阵法与有限元计算圆柱壳固有频率得出的结果误差全都小于1%，充分说明了改进传递矩阵法的高准确性。

从表2可以看出，对于简支、自由、固支三种边界条件，采用改进传递矩阵法与有限元法得出环肋圆柱壳振型完全一致，误差全都小于6%，固有频率也一致接近，说明了本文采用改进传递矩阵法计算环肋圆柱壳的精确性。从表2中发现，当轴向半波数m为5时，相对误差小于1.5%，这可能由于此时环肋圆柱壳分段数与轴向半波数相同。

从表1和表2发现，环肋圆柱壳的相对误差与不加肋的圆柱壳相比，误差要大一些，原因之一是Abaqus本身也是数值解，与真实解存在一定误差；原因之二是环肋处有点传递矩阵，矩阵相乘增多导致总传递矩阵的累计误差比圆柱壳的要大。

从表1和表2发现，不同的边界条件对于圆柱壳的固有频率是有影响的，当n为0时，三种边界条件下的固有频率几乎差不多。当n大于0时，自由边界固有频率最大；固支边界固有频率次之；简支边界固有频率最小。

表2　环肋圆柱壳固有频率计算结果与有限元结果对比/Hz

3　结语

本文基于Flügge壳体理论的振动微分方程，相对于传统的传递矩阵法，采用改进传递矩阵法改变状态向量的选取，可以快速直接地从振动微分方程导出圆柱壳的场传递矩阵，推导十分简单方便；根据环肋和壳体连接处的变形连续条件，考虑环肋的面内与面外振动，导出了环肋处点传递矩阵。最后通过对自由、简支、固支三种边界条件下环肋圆柱壳的固有频率计算结果与有限元计算结果进行对比。可以得出下面结论：

（1）本文采用的改进传递矩阵法改变了传统传递矩阵法中状态向量的选取，直接从振动微分方程推导出传递矩阵，大大简化了传递矩阵的推导，使计算过程更加简便。

（2）对简支、自由、固支三种边界条件的环肋圆柱壳的固有频率进行计算，与有限元计算结果进行对比，验证了改进传递矩阵法处理环肋圆柱壳的振动特性的正确性与准确性，并适用于不同的边界条件。

（3）不同的边界条件对圆柱壳和环肋圆柱壳固有频率是有影响的。当n为0时，三种边界条件下的固有频率几乎相同。当n大于0时，自由边界固有频率最高；固支边界固有频率次之；简支边界固有频率最低。

［1］李学斌.环肋圆柱壳自由振动分析的能量法［J］.船舶力学，2001，5（2）：73-81.

［2］肖汉林，刘土光，张涛，等.复合材料纵横加筋圆柱壳自由振动分析［J］.噪声与振动控制，2006，26（6）：4-7.

［3］CARESTA M，KESSISSOGLOU N J.Structural and acoustic responses of a fluid-loaded cylindrical hull with structural discontinuities［J］.Applied Acoustics，2009，70（7）：954-963.

［4］陈美霞，谢坤，魏建辉.带框架肋骨圆柱壳振动特性分析［J］.华中科技大学学报（自然科学版），2014（3）：127-132.

［5］IRIE T，YAMADA G，KANEKO Y.Free vibration of a conical shell with variable thickness［J］.Journal of Sound and Vibration，1982，82（1）：83-94.

［6］IRIE T，YAMADA G，MURAMOTO Y.Free vibration of joined conical-cylindrical shells［J］.Journal of Sound and Vibration，1984，95（1）：31-39.

［7］王祖华，彭旭.短粗环肋圆柱壳振动特性分析的传递矩阵法［C］.第十二届船舶水下噪声学术讨论会论文集，2009.

［8］WANG X，WU W，YAO X.Structural and acoustic response of a finite stiffened conical shell［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2015，28（2）：200-209.

［9］万浩川，李以农，郑玲.改进的结构振动传递矩阵法［J］.振动与冲击，2013，32（9）：173-177.

［10］谭述君，钟万勰.非齐次动力方程Duhamel项的精细积分［J］.力学学报，2007，23（3）：374-381.

Free VibrationAnalysis of Ring-stiffened Cylindrical Shells Based on Improved Transfer Matrix Method

XU Rui-yang，WANG Xian-zhong，WU Wei-guo
（School of Transportation，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China）

In order to simplify the derivation of the state vector's first order differential equation in the traditional transfer matrix method and obtain the vibration characteristics of ring-stiffened cylindrical shells under different boundary conditions，the improved transfer matrix method is proposed based on Flügge shell theory.This method can be used to improve the selection of the state vectors to get the field transfer matrix which can be solved by a precise integration from the vibration equation directly and quickly.The point transfer matrix can be derived according to the continuous deformation at the connection of the ring and the shell.Finally，comparing the natural frequency calculated by the improved transfer matrix method with the results of FEM under the conditions of free plate，simply supported plate and clamped plate，it is shown that the improved transfer matrix method has effectiveness and applicability.

vibration and wave；improved transfer matrix；ring-stiffened cylindrical shell；precise integration；vibration analysis

O327

ADOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.005

1006-1355（2016）03-0021-05

2015-09-28

国家自然科学基金资助项目（51409200）；中央高校基础科研（WUT：2014-IV-022）

许瑞阳（1991-），男，江苏省如皋市人，硕士研究生，主要研究方向为结构振动与声辐射。E-mail：xuruiyang11@163.com