“探索规律”，数学活动的应然价值追求

所谓规律，是指事物之间内在的、必然的本质联系。它会以一定的方式不断重复出现，从而影响着事物发展的结果和方向。探索规律是学生认识世界的独特方式之一。在以往的教材中并没有将此内容独辟蹊径，只是在与之相关内容的教学中进行适当渗透，编排比较零散，缺乏一定的系统性和结构性。

在最新修订的苏教版教材中，将探索规律单独列为一个独立的教学专题内容，并且分年段提出相应的教学目标要求，将其与数的运算、数的认识提到同等重要的地位。因为，在探索规律的教学中更能有效凸显学生核心素养的提升和关键能力的形成。苏教版“探索规律”的主体结构序列梳理如下表：

从这一简单的统计分析可以看出，教材在编排“探索规律”单元时，着重关注计算、几何图形中的规律现象，有的涉及重复性规律、有的突出关系性规律、有的关注递进性规律……意在让学生经历“探索”的过程，感受规律、发现规律、描述规律并应用规律。

美国教育家杜威认为，“一盎司经验胜过一吨理论。”教育就是对生活、生长和经验的改造。教育是在经验中、由于经验和为着经验的一种发展过程。从杜威关于“经验”的教育哲学观点来看，经验是课程与教学的基本构件，在“探索规律”的专题学习中数学活动应是数学经验的主要来源，离开活动很难有学生经验的积累。

“活动是智慧的根源”（皮亚杰语），也是儿童的经验建构方式。皮亚杰的知识建构理论指出：学生是在自己的生活经验基础上，在主动的活动中建构自己的知识。也就是说，学习者走进教室并不是一无所知的白纸，而是在日常生活、学习和交往活动中，已经逐步形成自己对各种现象的理解和看法，而且，他们利用现有的知识经验进行推论的智力潜能活动。

可见“探索规律”的专题内容除了蕴含基本的数学知识外，更重要的是在多样化的活动中对方法、学习策略、数学思想习得的一种经历、体会，在具体操作和形象探究的“做数学”活动中，不断丰富、完善、修整自我的经验，呈现不断生长、发展的新经验。

一、探——让儿童经历自由探询建构的过程，积累探索性经验

数学活动经验是在活动中产生的，所以在“探索规律”教学时要提供一个真实的问题情境，让学生在探索的自由时空中不断获得活动经验，同时彰显数学活动的本质内涵。任何规律的探索都是基于已有知识经验的主动建构，是在原有经验基础上形成、拓展、验证和修改的这样一个前后紧密联系的、新旧相连接的、动态进步的持续过程。

在研究“多边形的内角和”时，教师试图让学生经历“提出问题——大胆猜想——分类验证——深入验证——发现规律”的探究过程，主动建构自己的理解，让原有的经验系统在探究的过程中不断增长，能对外部信息自觉进行加工、选择和批判。基于这样的思考，在新授环节层次分明地彰显了“怎样探究多边形内角和”的推进过程：先凭学生已有三角形内角和经验进行四边形内角和的猜想，用量算、撕拼、分三角形等多样化的初始经验尝试验证自己的猜想，再到逐步延伸到五边形、六边形内角和的合理猜想中，同时借助反例进一步完善猜想，最后在大数据的观察、比较、分析中得出适切的规律。学生通过自主探究验证发现的过程对多边形特征的全貌，整个知识结构和其适用条件的信息有了完整、丰富的体验认识。这个过程很好地实现了规律建构和经验方法建构的有机融合，也为学生积累了研究从特殊取证推广到一般情况的探究性经验，为后面研究具有类似结构规律特征的问题提供了很好的研究范式和经验积累。

二、做——让儿童动手触摸数学，积累动手操作性经验

儿童动手操作的经验，它是一种具体化的直接素材，也就是他们的直接经验。儿童在进行这样的操作活动中不是试图去解决一个问题，而是在动手操作的行动过程中获得最直接、感性的体验与经验。学生在不断地亲身经历“做数学”中，才能有所体验，形成个性化的体会并加以保存和积累。这些体验是宝贵的，具有直觉和迁移能力，是后继学习的基础。

例如，在“表面涂色的正方体”课堂中，教师提供具有典型探索性的实验素材——正方体学具，作为探索模型来研究3面、2面、1面涂色小正方体的核心规律特征。

操作——初步感知。

从正方体棱平均分成2份作为研究起点切入。

思考：涂色正方体的情况怎样？

操作演示正方体模型，获得直观表象。

记录实验数据：

大正方体棱平均分成的份数：2份

切成小正方体的总个数：8个

3面涂色小正方体个数：8个

2面涂色小正方体个数√

1面涂色小正方体个数√

质疑：如果每条棱平均分成3份，实验结果怎样呢？

探究——深入本质。

小组利用正方体学具和活动单合作探究。

记录实验数据：

大正方体棱平均分成的份数：3份

切成小正方体的总个数：27个

3面涂色小正方体个数：8个

2面涂色小正方体个数：12个

1面涂色小正方体个数：6个

师：比较两次实验数据，为什么3面涂色小正方体都是8个？

生：观察发现3面涂色的小正方体都在大正方体的顶点上。

师：看来你们实验时既善于关注数据，更善于关注它们的位置。

师：想一想，2面涂色小正方体在大正方体的什么位置？——在12条棱上；1面涂色小正方体在大正方体的什么位置？——在6个面上。

学生在正方体的拼摆过程中，不断积累外显的操作感性经验，但学生的思维并不仅仅停留在拼摆的结果上，而是在深入一步地探寻3个面、2个面、1个面涂色的小正方体个数与什么有关系的思辨过程中，将几次操作活动有效比较、整合，得到许多有价值的新发现，逐渐体悟出表面涂色小正方体个数与其主要特征8个顶点、12条棱、6个面有密不可分的微妙联系——依据小正方体的位置不同可以有一种全新的视角进行个数的推理，在这样的操作、观察、探究、辨析过程中，揭示表面涂色小正方体个数的规律特征已经是水到渠成，学生不再是被动的接受，而是在具体直观操作的基础上自我架构，真正做到智慧蕴藏在研究的过程中。通过数学活动，学生积累了操作经验和思考经验，获得了解决问题的方法，真正实现“以学定教”。

三、思——让儿童感悟数学思想的魅力，积累思考性经验

在小学阶段，数学思想方法对学生而言是一种体验和体会，是靠不断的实践来形成自己的经验的。美国著名数学家斯蒂思曾指出“数学是模式的科学”。数学模型的形成是一个缓慢的过程，有其自身的规律和特点，不是学生听懂了、记住了，而是学生自己悟出了数学模型的准备、建立、优化、求证的过程。对大部分学生而言，要通过多次的活动体验和积累体会来逐渐明晰并形成个体经验，感受数学模型的本质意义。

从某种意义上讲，数学模型的建构不能靠学，而是需要领悟。这种领悟往往是在数学活动中进行的，因而整个教学活动必须给学生探索交流的时空，组织、引导学生“经历观察、比较、归纳、验证”等数学活动过程。教学“间隔排列规律”时，利用“兔子乐园”这样一个典型的现实生活问题作为切入点，再动态变化主题图中兔子的数量，让学生快速发现与其匹配的蘑菇个数的变化情况，通过一组有代表性数据的收集、整理、观察，一下将学生的思维从具体的数量引向两者内在的规律的思考上。教师不仅仅停留在“兔子、蘑菇”两组数量关系的揭示上，而是进一步深入质疑“为什么这些数量之间存在‘相差1的数量关系呢？”将学习的进程又推向了一个更深的境地。学生从对具体图形、数据大小的观察比较中，感受到“数形结合思想”“一一对应思想”的重要性，通过合情归纳提出一般性规律，进而用数学符号表达，最后通过适当的问题转换，经历了一个“模型建构”的过程。

在这样的过程中，孩子们体会到了什么是间隔排列，为什么要研究间隔排列，我们是怎样进行探索研究活动的？这正是“数学研究”最具核心价值的思考过程。在此研究历程中，更让学生清楚地感受到数学模型抽象的力量，由于舍弃了各种不相干的因素，从而使我们可更深入地揭示事物或现象的本质。在这样的研究过程中，学生对探究的思路、规律的理解与解释有了个性化的解读，对数形结合、一一对应的思想方法有所体悟，从而有效增长了思考性经验。

四、悟——引领儿童自觉回望反思，累积反思性经验

所谓反思，就是将学习过程中有关的学习活动变为思考的对象，进行反省。学习者自我反思的过程是梳理知识系统的过程，是自我对过去所积淀的经历、文化以及思想的反思性理解。在反思过程中，帮助学生把自我积淀的经验进行显性化。正如美国心理学家波斯纳所言“没有反思的经验是狭隘的经验，最多只能是肤浅的知识”。

在学习“探索一一间隔排列规律”教学后，教师及时引导学生回顾整理：“我们今天是怎样探索间隔排列规律的？为什么要学习间隔排列规律？以前我们已经积累了哪些间隔排列规律的经验？学习以后你又积累了哪些新的经验？这个新经验对我们以后有什么新的价值？”教学中通过师生之间的对话交流，实现知识结构的重组和归纳，完成认知的图式化，同时在反思的学习过程中，回味探索的思路、规律的形成、思想方法的提升。既着眼于学习内容思想化，又着手于反思性思维训练以实现学习逻辑向认知逻辑的转化，有效实现了学生经验系统化、结构化的完整历程。在教学活动中，学习者对学习活动的主动参与是有效学习的前提，而反思则是促进学习思想化的催化剂，也是丰富、修正、提升原有经验的有效途径。

（芮金芳，溧阳市外国语学校，213300）

责任编辑：赵赟