有关Lagrange中值定理的几个应用实例

张喜贤1，杨吉会



有关Lagrange中值定理的几个应用实例

张喜贤1，杨吉会2

（1. 大连鉴开中学，辽宁 大连 116031；2. 沈阳农业大学 理学院，辽宁 沈阳 110866）

Lagrange中值定理是微积分学中最重要的定理之一，具有非常广泛的应用，其应用结果非常深刻，通过几个具体的应用实例来说明这个定理的重要价值．

极限；导数；Lagrange中值定理；不等式

1797年，Lagrange出版了其关于函数论的历史性著作《解析函数论》，在这部著作中，首次给出了Lagrange中值定理，并用该定理推导出了带有Lagrange型余项的Taylor展式[1]．然而，由于当时微积分基础的局限性，特别是函数极限定义的含糊不清，《解析函数论》中并没有给出Lagrange中值定理的严格证明方法，Lagrange中值定理的更严格证明后来被Kauchy和Bonnet分别完成[2]．

Lagrange中值定理[3]设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则存在

Lagrange中值定理具有很明显的几何直观解释：若闭区间上的连续曲线弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，则这段弧上至少有一点，使曲线在该点处的切线平行于过两端点的连线（弦）．基于这个直观的解释，通过构造辅助函数，利用1637年Fermat的《求最大值和最小值的方法》中求函数极值的方法可以证明Lagrange中值定理[4]，这种证明方法是众多证法中相对简单的一个．

Lagrange中值定理在高等数学中的应用非常广泛，涉及函数极限的计算、函数性态的描述、判断函数方程根的存在性、不等式的证明、证明微积分中其它重要定理、判别级数敛散性等诸多方面．

1函数极限的计算

函数的极限概念是微积分中的核心概念，求函数极限是微积分中的一个基本问题，通过应用Lagrange中值定理，能够解决一些复杂的极限计算问题．

2函数性态的描述

函数的性态涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、凸凹性、可微性、可积性以及函数的极值和拐点等诸多方面，利用Lagrange中值定理有时能够很方便地对这些性态进行研究．

3判断函数方程根的存在性

函数方程根的存在性问题一直是函数方程讨论的重要内容，这往往是构造各种有效数值计算方法的前期基础．利用Lagrange中值定理有时能够很方便地解决函数方程根的存在性问题．

4不等式的证明

不等式的证明方法多种多样，利用Lagrange中值定理有时能够证明某些应用广泛的不等式．

由Jensen不等式，也容易得到Holder不等式与Minkowski不等式等其它重要不等式[5]．

5 证明微积分中其它重要定理

利用Lagrange中值定理能够得到微积分中其它重要的法则和定理，如在求极限中广泛应用的L′Hospital法则，联系微分与积分的微积分基本定理等．

6 判别级数的敛散性

无穷级数的敛散性是函数论中的重要问题，在函数表示、函数逼近以及函数值的近似计算中有诸多应用，利用Lagrange中值定理有时能够研究无穷级数敛散性的问题．

Lagrange中值定理的发现和应用过程，是伴随着微积分的成长史不断深化的过程，深刻地理解和掌握该定理的发展与应用脉络，对从全局上把握微积分具有重要意义[6-7]．至今，围绕着Lagrange中值定理的研究仍在进行，如Lagrange中值定理中的“中值点”渐进性问题等[8]，它的更多新应用还有待被发现和总结．

[1] 吴文俊．世界著名数学家传记（上集）[M]．北京：科学出版社，1995：700-718

[2] 梁宗巨．数学家传略词典[M]．济南：山东教育出版社，1989：323-325

[3] Richard Courant，Fritz John．Introduction to Calculus and AnalysisⅠ[M]．New York：Springer-Verlag，1989：173-177

[4] 龚升，林立军．简明微积分发展史[M]．长沙：湖南教育出版社，2005：32-34

[5] Hardy G，Littlewood J E．Inequalities[M]．2th ed．Cambridge：Cambridge University Press，1988：21-26

[6] Kline M．Mathematical Thought From Ancient to Modern Times[M]．New York：Oxford University Press，1972：400-426

[7] 李文林．数学史教程[M]．北京：高等教育出版社，2000：176-195

[8] 马醒花．五阶拉格朗日中值定理中间点的渐近性质[J]．高等数学研究，2012，15（1）：51-52

Several application examples of Lagrange mean value theorem

ZHANG Xi-xian1，YANG Ji-hui2

（1. Dalian Jiankai Middle School，Dalian 116031，China；2. School of Science，Shenyang Agricultural University，Shenyang 110866，China）

The Lagrange mean value theorem is one of the most important theorems in calculus，and it has been applied widely，and the results of its application are very deep．The important value of the theorem was illustrated by several application examples．

limit；derivative；Lagrange mean value theorem；inequality

O172∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.018

2015-09-10

沈阳农业大学博士后基金资助项目（770212025）

张喜贤（1972-），男，辽宁凤城人，高级教师．E-mail：fczxx@163.com

杨吉会（1973-），男，辽宁法库人，讲师，博士，从事模糊规划与决策研究．E-mail：yangjihui@163.com