利用对称性求解初等概率问题

陈丹



利用对称性求解初等概率问题

陈丹[1]

（辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116000）

在初等概率领域，对称性问题较多．重视其研究，不仅能够提高解题技巧和速度，而且对理解中学概率部分的教学思路十分有益．通过围绕初等概率解题的方法，有意识地比较出利用对称性解决初等概率问题的简便性，从而能应用到中学数学的教学中．

对称性；概率；中学数学教学

在中学概率领域，对称性问题较多，重视其研究，不仅能够提高解题技巧和速度，而且对中学概率部分教学的理解十分有益．本文给出古典概型和几何概型概率问题的实例[1-3]，指出它们都具有对称性，利用对称性可解决初等概率问题，其方法与一般解法相比，具有初等性和简明性．而中学部分的概率问题也主要研究古典概型和几何概型，所以利用对称性解决中学概率问题就显得尤为重要，对称性的解题方法可广泛应用到中学概率的教学中．

1利用数学期望计算古典概型概率

对中学概率中古典概型的理解和计算不可避免地会应用到随机变量的数学期望这一数学特征．

引理[4-5]袋子中共装有只球，设其中红球数为随机变量，若红球数的数学期望为，那么从这个袋子中摸出一球是红球的概率为．

2利用对称性计算古典概型及几何概型概率

对称事件其发生的可能性相等．所以对两个结构相同、完全处于对称位置的平等事件，其发生的概率也应该是相同[7]．而古典概型和几何概型基本事件发生的概率都是等可能的，因此，在古典概型和几何概型中，应用对称性可以简化解题思路，提高解题速度．

对每一组同桌而言，要么男学生在前要么其女同桌在前，只有这２种可能，而且两者是等可能的．那么由事件的对称性可知，．由于每一组同桌排列的事件是相互独立的，即是相互独立的．所以，由概率计算法则可知，．

与例2解法1相比，应用事件对称性的解法2解题方法思路更简单，计算更简便．

例3解法2设想把球一个个都取出，把全部的球看作全排列[8]．那么３个白球把整个排列分割成４段，设第1个白球之前的球数为，第1个白球与第２个白球之间的球数为，第２个白球与第３个白球之间的球数为，第３个白球之后的球数为．由于每种排列的可能性相同，３个白球的分布又是均匀的，所以随机变量具有相同的分布列，因而有相同的期望，且．

由于几何概型概率问题具有类似的对称性[6]，因此对称性也可以应用到几何概率问题的求解中．

3结论

在求解古典概型问题时，例1、例2解法1、例3解法1是通过随机变量的数学期望来求解；例2解法2、例3解法2、例4是通过概率的对称性求解，因此对称性可以应用到几何概率问题的求解中．当然，不论是利用对称性计算古典概型概率，还是利用数学期望计算古典概型概率，在具体解题的过程中都要注意构造恰当样本空间，而且在构造的样本空间中，每个基本事件出现或发生的可能性必须相同．

比较例2解法1与例2解法2，其结果完全相同，但例2解法2充分利用了对称性，思路简单，简化计算过程，提高解题速度．由于几何概型也有类似的对称性，因此由例4可以看出，对称性解题也简化了计算过程．

由于中学概率问题研究中最重要的是古典概型和几何概型．因此，在求解初等概率问题时，对称性的应用可以简化思路，便于计算，提高解题速度．

[1] 魏宗舒．概率与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，1997：32-79

[2] 周概容．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，1984：61-75

[3] 毛用才．概率论与数理统计学习指导[M]．西安：西安电子科技大学出版社，2000：10-31

[4] 王择．初等数学中的对称性及其应用[J]．蒙自师专学报，1995（12）：64-69

[5] 李贤平．概率论与数理统计[M]．上海：复旦大学出版社，2003：80-97

[6] 宋建儒．高等数学解题方法与技巧[M]．西安：陕西教育出版社，2003：20-51

[7] 陈运新．对称性在积分中的应用[J]．数学理论与应用，2000（4）：7-28

[8] 陈希孺．概率论与数理统计[M]．合肥：中国科学技术大学出版社，1992：7-27

Solving elementary probability problem with symmetry

CHEN Dan

（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116000，China）

In the field of elementary probability，the symmetry problem is more．Attention to its research，not only to improve the problem-solving skills and speed，but also the probability of the secondary school teaching is very useful．By means of the method of solving the problem of elementary probability，makes a comparison of the simple and convenient，which can be applied to the teaching of middle school mathematics．

symmetry；probability；middle school mathematics teaching

O211∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.019

2015-09-22

陈丹（1990-），女，辽宁兴城人，在读硕士研究生，从事应用统计学研究．E-mail：1049468612@qq.com