一种判定含参量无穷限反常积分非一致收敛的方法

王庆东



一种判定含参量无穷限反常积分非一致收敛的方法

王庆东

（商丘师范学院 数学与信息科学学院，河南 商丘476000）

根据一致收敛与收敛的关系，得到一种判定含参量无穷限反常积分非一致收敛的方法．通过观察被积函数中的不定式，若能找到参量关于积分变量的函数，使得相应的无穷限反常积分发散，那么含参量无穷限反常积分非一致收敛．相对于定义法和柯西准则，该方法更加简便．

含参量无穷限反常积分；非一致收敛；不定式；发散

判定含参量无穷限反常积分非一致收敛是考核学生数学能力的重要知识点．因为用定义法需找出3个存在性的量，用柯西准则需找出4个存在性的量，加之涉及到积分运算，初学者普遍感到困难．针对这一问题，文献[1-8]等进行了研究，但方法不够简便．基于此，根据一致收敛与收敛的关系，用观察法构造发散的无穷限反常积分来判定非一致收敛，与定义法和柯西准则法相比，不失为一种简易方法．

1方法的提出

定义[1]192若对于任意，存在（也可说成存在），使得对于，及一切，有，则称含参量无穷限反常积分关于参量一致收敛于．

2应用实例

[1] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2010：192-193

[2] 陈纪修，於崇华，金路．数学分析（下册）[M]．2版．北京：高等教育出版社，2004：384-392

[3] 周民强．数学分析习题演练（第三册）[M]．2版．北京：科学出版社，2012：185

[4] 费定晖，周学圣．Б П吉米多维奇数学分析习题集题解（五）[M]．济南：山东科学技术出版社，1983：589-595

[5] 孙清华，孙昊．数学分析内容、方法与技巧（下）[M]．武昌：华中科技大学出版社，2003：424

[6] 张天德，孙书荣．数学分析辅导及习题精解（下册）[M]．延吉：延边大学出版社，2011：258-271

[7] 李克典，马云苓．数学分析选讲（下）[M]．厦门：厦门大学出版社，2006：538

[8] 谢惠民，恽自求，易法槐，等．数学分析习作课讲义（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2004：289

A judging method for non uniform convergence of improper integral with parameters

WANG Qing-dong

（School of Mathematics and Information Science，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，China）

According to the relationship between uniform convergence and convergence，a judging method for non uniform convergence of improper integral with parameters was obtained．If some parameter is found to be the function of integral variable by observing the infinitives in integrand function such that the corresponding integral is divergent，then the improper integral with parameters convergent non-uniformly．The method is easier than definition method and the Cauchy criterion．

improper integral with parameters；non uniform convergence；infinitive；divergence

O172.2

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.004