Dirichlet积分的５种计算方法

朱章根，简国明



Dirichlet积分的５种计算方法

朱章根[1]1，简国明2

（韶关学院，1. 物理与机电工程学院，2. 数学与统计学院，广东 韶关 512005）

研究Dirichlet积分，给出5种不同的Dirichlet积分值计算方法．

Dirichlet积分；含参量积分法；积分计算

广义积分是理工科类高等数学计算中的一个重要内容，一般的计算法是先求出原函数，而后采用Newton-Leibniz公式计算[1-5]．但是Dirichlet积分的计算需要一些技巧与方法．本文研究Dirichlet积分并给出5种不同的计算方法．这几种计算方法都是理工科类学生利用经常接触的数学知识可以解答的．

1Dirichlet积分收敛性的证明

引理1（Dirichlet判别法）[1]257设为上的函数，若在上为有界函数，单调趋于零，则收敛．

2 Dirichlet积分的计算

2.1解析函数法

引理2（Cauchy-Goursat定理）[6]55设解析函数在单连通区域以及该单连通区域的边界上解析，则．

要求出Dirichlet积分的值，只需要令即可．由于，因而（2）

2.2留数定理求解

引理3[6]88设函数在实轴上的奇点为，都是一阶极点，且满足Jordan引理的条件，为函数在上半平面的奇点，则有

2.3利用含参变量的广义积分计算

引理4（Weierstrass-M判别法）[2]195设有函数，使得，，，若收敛，则在上一致收敛．

2.4利用含参变量的积分计算

2.5利用Laplace变换计算

换[7-8]．对Dirichlet积分进行Laplace变换可得，故．

Dirichlet积分在阻尼振动中是很常见的积分，对于物理类专业的学生是必须掌握的内容．文中给出的５种计算方法都是基于理工类基础数学可求解的，适合理工类学生参考借鉴．

[1] 同济大学数学系．高等数学（下册）[M]．6版．北京：高等教育出版社，2007

[2] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．3版．北京：高等教育出版社，2006

[3] 北京大学数学力学系．数学分析[M]．北京：人民教育出版社，1961

[4] 李忠，周建莹．高等数学[M]．北京：北京大学出版社，2009

[5] 孙本旺．数学分析中的典型例题与解题方法[M]．长沙：湖南科技出版社，1984

[6] 上海交通大学数学系．复变函数与积分变换[M]．上海：上海交通大学出版社，2012

[7] 王高雄．常微分方程[M]．2版．北京：高等教育出版社，2006

[8] 西安交通大学高等数学教研室．复变函数[M]．4版．北京：高等教育出版社，2014

Five calculation methods of Dirichlet integral

ZHU Zhang-gen1，JIAN Guo-ming2

（1. School of Physics and Electrical Engineering，2. School of Mathematics and Statistics，Shaoguan University，Shaoguan 512005，China）

Researched the Dirichlet integral，gave five different calculation method of the Dirichlet integral．

Dirichlet integral；parametric integral method；integral calculation

O172∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.021

2015-08-20

朱章根（1991-），男，广东仁化人，在读本科生．E-mail：1723739170@qq.com

简国明（1958－），男，江西南昌人，教授，硕士，从事代数图论及数学模型研究．E-mail：527775876@qq.com