基于问题解决的线性代数概念教学

刘耀军，张姗梅



基于问题解决的线性代数概念教学

刘耀军1，张姗梅2

（太原师范学院 1. 计算机科学与技术系，2. 数学系，山西 晋中 030619）

概念是线性代数教学的基础，概念教学既是教学的重点，也是教学的难点．学生存在着为什么引入这些概念，为什么这样定义这些概念等疑问．教材中存在着概念引入分析不到位、概念强行引入等问题．教师作为学生与教材之间的纽带，必须按照“教师为主导，学生为主体”的教学原则，根据学生已有的知识基础，遵循“从具体到一般、从感性认识到理性认识”的认知规律，采取“探究式”教学方法，以适应“创新精神、创新意识和创新能力培养”的要求，审视概念的教学．教学实践表明，基于问题解决的线性代数概念教学是一个有效的方法．

行列式；矩阵；初等变换；线性相关性；二次型

线性代数中的概念是线性代数的基石，从概念开始筑起了线性代数的理论．概念以学术的形态展示于教材中，体现了概念的简洁性和抽象性，同时也加大了学生对概念理解和掌握的难度．教师在概念教学中除了让学生理解概念的内涵和外延之外，还应通过概念教学提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，把培养学生创新思维能力作为教学的出发点和落脚点．在概念教学中，教师应模拟数学家构建概念的原始形态，从最简单做起，从具体问题研究做起，引导学生探究，使学生自发地构筑起线性代数的概念[1]．

1学生的数学基础

线性代数是中学数学的加深和提高，主要内容包括解线性方程组和把二次型化为标准形，在线性代数中大量使用了矩阵的方法．线性代数开设在大学的第一学年，此时学生已经具备了学习线性代数的基础：用消元法解二元一次方程组和三元一次方程组；数的范围的扩展，即自然数、整数、有理数、实数和复数；平面向量的内积；化二次曲线的一般方程为标准方程．学生也具备了学习线性代数的基本能力：实数、代数式、函数的计算能力；代数及几何证明的逻辑思维能力；二元一次、二元二次方程的几何图形的空间想象能力．总之，学生已经具备了基本的数学素养，为线性代数的学习奠定了一定的基础．

线性代数课程作为中学数学的加深和提高，采取了抽象思维的方法，如从解线性方程组的消元法抽象出行列式法和矩阵方法；从线性方程组解按未知量的表达方法抽象为按未知向量的向量表达方法；从化二次曲线的一般方程为标准方程提升为化二次型为标准型的矩阵方法．在线性代数中，从始至终贯穿着抽象思维方法．抽象思维方法在中学数学中几乎没有得到训练，是大学一年级学生所欠缺的．对此，教师必须深入研究线性代数中概念的教学方法，对概念抽象（即从具体的概念抽象出一般的概念）的教学及抽象概念（即由形式化方法定义的概念）的教学，采取更加贴近学生知识基础和更加接近学生思维能力的教学方法，引导学生从具体概念抽象出一般概念，启发学生理解引入这些概念的原因．在线性代数课程教学中，对概念引入进行了研究，形成了从特殊到一般的抽象概念教学方法，以及从问题需求引入概念的教学方法．

2现行教材中对概念的处理

线性代数课程是经济、管理和工程等专业本科一年级开设的公共基础课．内容主要包括解线性方程组和化二次型为标准型，化二次型为标准型可以作为线性方程组的应用[2-3]．解线性方程组包括线性方程组的行列式、线性方程组的初等变换及线性方程组解的结构等内容．

自1978年以来，国内已经出版了一批优秀的线性代数教材．但在这些教材中对概念的引入仍然存在一些问题：

（1）在从具体概念抽象出一般概念时，虽然注意到从具体到一般的认知规律，也注意到类比在抽象思维中的作用，但是分析不彻底，造成思维的跳跃．如从二阶行列式和三阶行列式抽象出一般行列式的定义时，项符号的确定问题．

（2）在概念引入时，虽然注意到数学概念产生于实际需求的思想，但是没有照顾到学生的现有数学知识基础，导致了线性代数课程与中学课程的脱节，如矩阵概念的引入．

（3）在概念引入时，虽然注重了理论的严谨性，但是没有照顾到如何释放学生“为什么引入这些概念”的疑虑．如向量组的线性相关性、方阵的特征值、方阵的特征向量等概念的引入．

教材中的概念应该以学生已有的知识为出发点，将学生带入未知领域，让学生创造性地学习新的知识．教材中的概念应该从问题的驱动入手，触发学生去探究．

3基于问题解决的线性代数概念教学

在线性代数概念教学中，将“教师为主导，学生为主体”的教学原则贯穿于教学实践活动中是至关重要的．教师应引导学生提炼出概念，作为学生自己思维的结果，对概念的掌握就成了水到渠成的事情．为此，根据学生在不同阶段所具备的基础，在概念引入前，设定问题，激发学生兴趣，引导学生探索，抓住学生思绪，挖掘学生潜能，促使学生通过分析、归纳和总结，很自然地得出并理解引入的概念．

以同济大学《工程数学·线性代数》教材[4]为例，探讨概念教学问题．

3.1行列式的概念的解析

在教材中给出了二元一次方程组的行列式求解公式．在教学中，按照概念产生于实际需要的思想，明确了二阶行列式的引入是为了记忆由消元法导出的二元一次方程组求解公式．并且通过二阶行列式定义的引入，体会数学能够使无序变为有序．

在教材中给出了三阶行列式的定义．在教学中指出三元一次方程组也可用行列式求解，并给出求解公式．同时指出用消元法导出三元一次方程组的行列式求解公式的困难，明确暂时不予推导．指出公式的推导将在本章结束时给出，且推导变得十分容易．这样调动了学生的好奇心，使学生带着问题进入行列式的学习．

在本章结束时，向学生指出，克拉默法则只是解决了特殊的线性方程组的求解，对于一般线性方程组的解法将在第3章和第4章中给出．这样，通过问题的设定，提高了学生的探究意识，同时激发了学生进一步想要学习第3章和第4章的兴趣，调动了学生学习的积极性．

3.2矩阵及逆矩阵概念的解析

教材中，首先给出矩阵的定义，然后用例题说明矩阵的实用性．在教学中，从学生中学已有知识出发，将矩阵纳入数的扩充的框架之下．首先，回顾了从自然数、整数、有理数、实数再到复数的数的扩充历程，指出数的发展来源于客观的需要．然后，通过诸如高考成绩汇总表这样的实际问题，指出在实际问题中需要研究数的矩形表格，从而引入矩阵的定义．既然作为数的扩充，也就有了类似于数运算的矩阵运算．

教材中，对于逆矩阵的引入采用了线性变换的逆变换作为实际背景．在教学中，按照逆运算的思想引入逆矩阵的概念．首先指出，矩阵加法的逆运算是可以进行的，即矩阵的减法．接着指出矩阵乘法的逆运算不是总可以进行．例如：已知一个矩阵和一个矩阵，求矩阵，使得．这个方程类似于中学的一元一次方程，解一元一次方程需要数的倒数的概念，从而得到在的情况下的解为．借此指出为了进行矩阵乘法的逆运算，需要引入矩阵的类似于数的倒数的概念，即方阵的逆矩阵的概念．类比在矩阵乘法中单位矩阵与1在数的乘法中的作用相同，引入了逆矩阵概念，即阶方阵的逆矩阵是适合等式的阶方阵．这样使学生体会到了类比推理的思想．

在讲解逆矩阵的伴随矩阵算法公式之后，向学生指出该方法将求逆矩阵的问题归结为若干个行列式的计算问题，因此只能局限于简单的方阵，对于一般方阵的逆矩阵的求法，需要找出切实可行的算法．指出一般矩阵的乘法逆运算问题将在第3章中进行．这样，通过问题的设定，提高学生的探究意识，同时激发了学生进一步想学习第3章的兴趣，调动学生学习的积极性．

3.3初等矩阵与矩阵的秩概念的解析

教材中，将线性方程组抽象为矩阵，将用加减消元法解线性方程组抽象为矩阵的初等行变换．一方面说明了矩阵的应用，另一方面自然地引入了矩阵的初等行变换，进而推广为矩阵的初等变换．然后讨论了矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系．在教学中，将矩阵的初等变换与初等矩阵的关系后置到本章的最后，以突出解方程组这一重点，也照顾到解方程组内容的连贯性．

教材中，在矩阵的初等变换后接着转向矩阵的秩的讨论，利用矩阵的子式给出了矩阵秩的定义．在教学中，为了避免偏离解线性方程组这条主线，把矩阵经过行初等变换得到的行阶梯形矩阵的非零行的个数称为矩阵的秩，同时指出矩阵的秩是由矩阵唯一确定的，而不会因为所采取的初等变换不同而不同，但把它的证明后移到线性方程组解的存在性及解的个数之后．

作为本章的结束，对矩阵乘法的逆运算进行了彻底的讨论，给出了矩阵乘法逆运算可以进行的条件和逆运算的计算方法．

在教学中，以解决问题为向导，对课本中的内容的原来顺序进行了重新整合．新顺序为：方程组解的讨论——矩阵的秩——求逆矩阵的初等变换法．这样采取各个击破的方法，使得脉络更加清楚．

3.4向量、向量组、向量组的等价及向量组的秩概念的解析

从整体结构看，教材中先讨论了向量组的理论，借助向量组的理论讨论了线性方程组解的结构．在教学中，按照学以致用的原则，按照问题驱动的思路，首先给出线性方程组解的结构．一方面突出了解方程组的重点，另一方面也使得学生能更好地理解引入向量组理论的原因．

在中学数学中，线性方程组解的表述方法是按各个未知量的解分开表达的，而在线性代数中，是把未知量作为整体来表达，所以需要引入向量的概念．接着按照齐次线性方程组解的结构中呈现出的解向量的表达形式，引入向量组的线性组合的概念．

通过分析齐次线性方程组中的解向量的表达式，引入线性无关和线性相关的概念，并用矩阵的秩给出向量组线性相关的描述．在此基础上，通过对齐次线性方程组的解向量的进一步分析，引入极大线性无关组的定义．作为对同一齐次线性方程组的不同基础解系的分析，引入了向量组之间的线性表示和向量组等价的概念，并且讨论了向量组等价的刻划．

采取这样的处理方式，使得概念的引入更加自然，体现了数学源于实践，又服务于实践的思想，使学生更容易接受．

3.5特征值、特征向量概念，及正交化方法的解析

教材中是依照内积、特征值与特征向量、矩阵对角化、二次型的顺序展开讨论的．在教学中，按照由具体到一般的思维方式，对教学内容的顺序进行了调整．

将二次型与其矩阵统一起来之后，分析利用正交变换化二次型为标准型的问题，本质上是求正交矩阵和对角阵，使得的问题．而，因此问题可以弱化为求可逆矩阵，使得的问题．即求可逆矩阵，使得的问题．利用列向量表示矩阵，则问题化为求实数和非零向量，使得的问题．据此引入方阵的特征值和特征向量，增强了学习的目的性．

引入正交化方法，修正利用可逆矩阵化方阵为对角矩阵的方法，得到用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法．这样教学安排下，内容环环相扣，学生的学习积极性和参与意识得到提高，学生的主体作用得到保证．增强了学生的探索精神和创新能力，提高了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力．

在线性代数的教学中，应遵循“以教师为主导，以学生为主体”的教学原则，深入研究概念的切入点，形成了概念教学的改革思路，以概念教学改革为突破点进行了教材改革．线性代数作为经济、管理和工程等专业本科的公共基础课，应与专业相结合，针对不同的专业，增加一些面向不同专业的问题[5-7]，在教学中可以借助Maple，Matlab，Mathematics等软件进行概念的形象化教学[8-11]．

[1] 李红，李厚彪，黄廷祝．《线性代数》研究型教学初探[J]．大学数学，2013，29（4）：151-154

[2] 王瑞，夏爱生，刘艳娜，等．《线性代数（非数学专业）》整体教学的实践与认识[J]．大学数学，2011，27（6）：11-14

[3] 李小平．关于《线性代数》教学改革的一些思考[J]．大学数学，2011，27（3）：22-25

[4] 同济大学．工程数学·线性代数[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007

[5] 王强，方文波，张俊杰，等．教育信息化背景下高校线性代数课程教学内容创新的探索与实践[J]．大学数学，2012，28（5）：4-7

[6] 姚琼，高东娟．面向独立学院学生的线性代数课程“可视化”教学研究[J]．大学数学，2013，29（1）：6-9

[7] 杜建卫，苏欣．让线性代数课程易教易学[J]．大学数学，2011，27（5）：179-184

[8] 杨韧，张志让．以能力培养为中心的线性代数课程建设与改革[J]．高等理科教学，2014（5）：89-90，117

[9] 陈平炎．线性代数课程教学改革的探索与实践[J]．高等理科教学，2012（5）：120-123

[10] 陈建华，李立斌，凌智，等．基于问题解决的线性代数课程教学设计研究[J]．高等理科教学，2011（4）：117-119，152

[11] 王利东，刘婧．从应用实例出发的线性代数教学模式探讨[J]．数学教育学报，2012，21（3）：83-85

On the concept learning method in linear algebra based on the problem solving

LIU Yao-jun1，ZHANG Shan-mei2

（1. Department of Computer Science and Technology，2. Department of Mathematics，Taiyuan Normal University，Jinzhong 030619，China）

Concept is the foundation of the linear algebra learning，the concept learning is the focal point in teaching but it is also the difficult learning point．Student doubt why the concept is introduced and why the concept is defined in this manner．There are some questions about the introduction of the concept in textbooks such as the analysis is not thorough and the concept is intruded．As the bridge between students and the textbooks teachers must be in accordance with the teaching principle which takes the teacher as leading and takes the students as the main body．According to the students′ existing knowledge background，and following the cognitive law of start from specific to general，and from perceptual to rational knowledge，and using the inquiry teaching methods，and adapting to the training of the spirit，consciousness and ability about the innovation，teachers must reexamine the concept teaching．The teaching practice showed that the concept teaching method in linear algebra based on the problem solving is an effective way．

determination；matrix；elementary transformation；linear dependence；quadratic form

1007-9831（2016）02-0050-05

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.02.015

2015-09-20

山西省教育厅教学改革项目（J2015137）

刘耀军（1963-），男，河北阳原人，教授，博士，从事代数及其应用研究．E-mail：yjliuty@sina.com

张姗梅（1964-），女，山西霍州人，副教授，硕士，从事代数及其应用研究．E-mail：smzhangty@163.com