一种判定函数列非一致收敛的方法

王庆东，王路桥



一种判定函数列非一致收敛的方法

王庆东1，王路桥2

（1. 商丘师范学院 数学与信息科学学院，河南 商丘 476000；2. 太康县第一高级中学，河南 太康 475400）

根据一致收敛与收敛的关系，得到一种判定函数列非一致收敛的方法．通过观察通项与极限函数之差中的不定式，若能找到参量关于自然数的函数，使得相应的数列发散或非无穷小量，那么函数列非一致收敛．该方法比定义法和柯西准则法简便，可优先试用．

函数列；非一致收敛；不定式；发散

判定函数列非一致收敛，可以用定义法和柯西准则法．如果运用定义法，需要找到3个存在性的量，运用柯西准则，需要找到4个存在性的量，因此，证明函数列非一致收敛历来是教学的难点之一．对此，文献[1-9]进行了研究，但方法都不简便．基于此，本文根据一致收敛与收敛的关系，用观察法构造发散的数列或非无穷小数列来判定非一致收敛，与定义法和柯西准则法相比，不失为一种简易方法．

1　方法的提出

定理[1]42函数列在上一致收敛于的充要条件是：对于任意，．

推论（对角线判别法）[3]32函数列在上非一致收敛于的充要条件是：存在，使得．

作为充要条件，运用对角线判别法判定函数列非一致收敛，关键是找出一个上的使发散或非无穷小的“坏数列”．那么，关键的问题如何寻找．

由于函数列一致收敛的本质是二元函数的一致收敛，所以，寻找“坏数列”时，应该充分考虑变量和的运动，包括和构成函数关系的情形．当且跑遍时，如果中的不定式中的与构成函数关系，即，使得，即可断言函数列在上非一致收敛．

2　应用举例

注 也可按照连续性定理，由各项连续，但极限函数在1处间断，判定对非一致收敛于．

在研究二元函数一致收敛的问题时，不定式是值得考察的不确定因素之一．函数列的一致收敛问题属于二元函数一致收敛问题的范畴，当且跑遍时，应该充分考虑变量和的运动，包括和构成函数关系的情形．如果中的不定式与构成函数关系，即“坏数列”，使得，即可断言函数列在上非一致收敛． 该方法较定义法和柯西准则法简易，可以优先试用．

[1] 谢惠民，恽自求，易法槐，等．数学分析习作课讲义（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2004：42-43

[2] 陈纪修，於崇华，金路．数学分析（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2004：66-67

[3] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2010：32

[4]．数学分析的基本概念与方法[M]．北京：高等教育出版社，1989：204

[5] 刘秀梅．函数列在不同区间上一致收敛性的研究[J]．大学数学，2008，24（6）：160-164

[6] 张荣德．函数列一致收敛性定理[J]．宁夏大学学报：自然科学版，1990，11（4）：66-68

[7]，，等．关于非一致收敛的几个定理[J]．内蒙古农业大学学报：自然科学版，2001，22（4）： 116-121

[8]．一致收敛性的研究[J]．江西科学，2009，27（6）：781-783

[9] 李克典，马云苓．数学分析选讲[M]．厦门：厦门大学出版社，2006：355

A judging method for non uniform convergence of function sequence

WANG Qing-dong1，WANG Lu-qiao2

（1. School of Mathematics and Information Science，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，China；2. The No.1 High School in Taikang County，Taikang 475400，China）

According to the relationship between uniform convergence and convergence，a judging method for non uniform convergence of function sequence is obtained．If some parameter is found to be the function of natural number by observing the infinitives in the difference between the general term and the limit function such that the corresponding series is divergent ornon infinitesimal quantity，then the function sequence convergent non-uniformly．The method is easier than definition method and the Cauchy criterion and can be used as a prioroption．

function sequence；non uniform convergence；infinitive；divergence

1007-9831（2016）09-0012-04

O172.2

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.09.004

2016-07-07

国家级特色专业建设点项目（TS11575）

王庆东（1963-），男，河南太康人，教授，从事函数论研究．E-mail：qingdongw@126.com