稠密集与疏朗集

蒋巧云，袁邢华



稠密集与疏朗集

蒋巧云1，袁邢华

（南通大学 理学院，江苏 南通 226019）

从定义、基数和测度等方面讨论了稠密集与疏朗集之间的关系，使得学生更好地了解和掌握这个内容．

基数；测度；稠密集；疏朗集

实变函数是本科阶段数学专业的一门重要专业基础课，由于该课程具有概念性强、内容抽象、推理严谨、题目难做等特点．因此，成为数学系专业课程中公认的既难教又难学的一门课程．把握好教材教法是上好这门课的关键，本文就稠密集与疏朗集作出一些简单的探讨．

1　定义

定义1[1]设，若，则称为中的稠密集；若，则称为中的无处稠密集（疏朗集）；可数多个无处稠密集（疏朗集）的并集称为第一纲集，不是第一纲集的集合称为第二纲集．

定义2[2]设，若对于任意，有，则称为中的稠密集；设，若，有，则称为中的无处稠密集（疏朗集）．

2　稠密集与疏朗集的关系

定理疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集不一定是疏朗集．

但稠密集的余集不一定是疏朗集．如直线上无理数全体所成之集为中的稠密集，但它的余集即直线上有理数全体所成之集也为中的稠密集． 证毕．

3　稠密集与疏朗集的基数

稠密集与疏朗集的基数有如下3种情况：

（1）稠密集的基数大于疏朗集的基数．直线上有理数全体所成之集为稠密集而，直线上有限多个孤立点所成之集为疏朗集而（有限数），则；直线上无理数全体所成之集为稠密集而，直线上整数全体所成之集为疏朗集而，则．

（2）稠密集的基数等于疏朗集的基数．直线上有理数全体所成之集为稠密集而，直线上整数全体所成之集为疏朗集而，则；直线上无理数全体所成之集为稠密集而，区间上的康托三分集为疏朗集而，则．

（3）稠密集的基数小于疏朗集的基数．直线上有理数全体所成之集为稠密集而，区间上的康托三分集为疏朗集而，则．

４　稠密集与疏朗集的测度

（1）稠密集的测度可能为零也可能不为零．直线上有理数全体所成之集稠密集而，直线上无理数全体所成之集为稠密集而．

（2）疏朗集的测度可能为零也可能不为零．直线上整数全体所成之集为疏朗集，区间上的康托三分集为疏朗集．而．

注类似作法[4]可构造一个疏朗集合，使为正数，

实变函数课程由于其抽象性，对于任课教师教好这门课是个挑战，需要任课教师不断改进教学方法，总结和梳理知识点之间的关系，努力提高自身的素质来更好地完成这个教学过程[5]．

[1] 程其襄，张奠宙，魏国强，等．实变函数与泛函分析基础[M]．2版．北京：高等教育出版社，2003

[2] 周明强．实变函数论[M]．北京：北京大学出版社，2001

[3] 张喜堂．实变函数论的典型问题与方法[M]．武汉：华中师范大学出版社，2002

[4] 周明强．实变函数解题指南[M]．北京：北京大学出版社，2007

[5] 袁邢华，蒋巧云．《实变函数》课程教学的感受[J]．中国科学教育，2009（4）：26-27

Simple discussion about dense set and nowhere dense set

JIANG Qiao-yun，YUAN Xing-hua

（School of Science，Nantong University，Nantong 226019，China）

The relationship between the dense set and nowhere dense set is discussed from definition，cardinal number and measure，then makes students understand and master this content better.

cardinal number；measure；dense set；nowhere dense set

1007-9831（2016）09-0061-03

O17∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.09.018

2016-06-06

蒋巧云（1979-），女，江苏南通人，讲师，硕士，从事函数论研究．E-mail：ntsandy2004@ntu.edu.cn