一个超混沌类Lorenz系统的非线性动力学行为及计算机仿真

徐鸿鹏，尹社会，张勇

（河南工业职业技术学院河南南阳473000）

一个超混沌类Lorenz系统的非线性动力学行为及计算机仿真

徐鸿鹏，尹社会，张勇

（河南工业职业技术学院河南南阳473000）

利用Mat1ab软件和数学微分方程理论分析给出了一个新五维超混沌类Lorenz系统的非线性动力学特性。通过定性分析和定量分析相结合的手段探讨了主要包括对称性、耗散性、平衡点的稳定性、空间相图、时序波形图等方面的非线性动力学行为，并运用Wo1f方法计算出了系统的Lyapunov指数和Lyapunov维数，结合系统的不同运动状态的分岔图、Poincaré映射图和功率谱图等手段进一步表明该系统具有复杂的动力学特性，为进一步的混沌控制、同步与加密通信等工程应用提供了理论依据。

类Lorenz超混沌系统；分岔；耗散性；功率谱

著名的Lorenz系统是研究混沌现象的典型范例［1_2］。自从Lorenz在一个简单的三维自治系统中首先发现了蝴蝶混沌吸引子之后，又有新的混沌吸引子不断被发现，1999年，Chen系统和Lü系统相继被提出［3_4］，随后一个统一的混沌系统也被陈关荣和吕金虎提出并研究［5］。此后，国内外不少学者相继提出新的混沌或超混沌系统［6_7］，新系统的提出促进了人们对混沌现象的深入研究和认识，提高了混沌理论在工程上的应用能力。文献［8］提出了构造新超混沌系统的必要条件并构造了一类新的五维超混沌类Lorenz系统［8］，但并未进行动力学方面的研究，文中通过数值仿真给出了系统的相图、时序波形图、分岔图、Poincaré映射、功率谱图等，结果验证了该系统属于超混沌系统及其丰富的动力学行为。

1　数学模型及其吸引子的存在性

章秀君等构造了一个五维超混沌类Lorenz系统的方程为［：

其中：（x，y，z，w，u）∈R5为状态变量，a，b，c，d为系统实参数。当a=10，b=8/3，c=28，d=2时，系统相空间的时间平均散度为

可知系统为一个耗散非线性动力系统，其轨线随着时间不断演化到一个不变的吸引子集合中，其初值取（0.1，0.4，0.1，0.1，0.1），系统（1）的吸引子轨线的相图如图1所示。

2　系统的LyaPunoV指数和LyaPunoV维数

由数值计算可得系统的5个Lyapunov指数分别为：λ1=1.863 9，λ2=0.043 589，λ3=_0.733 93，λ4=_4.612 6，λ5=_12.117 6，其中有两个Lyapunov指数大于0，说明系统处于超混沌状态。进一步通过Kap1an_Yorke猜想可以得到其分形维数为：

可见系统具有分数维数，进一步验证了系统处于混沌状态。

图1　吸引子相图

3　系统在超混沌态的时序波形、功率谱和Polncaré映射

对混沌系统的吸引子分析，其空间结构十分复杂，轨线无穷延伸、压缩和折叠，其轨线在特定的吸引域内具有遍历性。时域分析如图2所示也表明，序列具有典型的非周期性，且具有对初值敏感依赖性。各个变量随时间演化的时序波形图如图2所示。如果初值发生细微的变化，系统的行为会发生明显的变化，如图3所示为初值取（0.1，0.4，0.1，0.1，0.1）和（0.1，0.4+0.00001，0.1，0.1，0.1）的时序图形。吸引子的非周期性也可以通过系统的连续功率谱表现出来，采用快速Fourier变换法，对系统的第一个状态变量x的时间序列进行功率谱分析如图4所示。由于是非周期运动，所以表现出连续功率谱，又由于存在分叉现象，所以有峰值出现。

图2　时序波形图

混沌系统的Poincaré截面上是沿几条曲线弧分布着一些具有分形结构的密集点，如图5所示，图中给出了x_y平面上的Poincaré映射，进一步说明了系统处于混沌态。

4　系统的平衡点分析

令系统（1）右边等于0，当a=10，b=8/3，c=28，d=2时，经计算系统有无穷多个平衡点：S0（0，0，0，0，0），S1（0，c，0，0，_10c），S2（4.32，0，14.0，0，43.2），S3（_4.32，0，14.0，0，_43.2），S4（_ 13.3，25.3，1.33，16.9，_284.0）。

图3　初值敏感性时序波形图

图4　功率谱图

图5　Poincaré映射

在平衡点S0（0，0，0，0，0）处线性化系统（1）可得其Jacobi矩阵，

由|λI_J|=0可得5个特征值为λ1=_1，λ2=_10，λ3=_2.6667，λ4=_2，λ5=0。其中4个负的实根表示在这4个方向收缩，因此平衡点S0（0，0，0，0，0）为稳定的结点。

在系列平衡点S1（0，c，0，0，_10c）处线性化系统（1）可得其Jacobi矩阵（为分析方便取c=1），

由|λI_J|=0可得5个特征值为λ1=_1，λ2=_10.099，λ3= 0.099，λ4=_2，λ5=_2.6667。其中4个负的实根表示在这2个方向收缩，1个正的实根表示在这1个方向扩张，因此平衡点S1（0，c，0，0，_10c）为不稳定的指标1的鞍点。

在平衡点S2（4.32，0，14.0，0，43.2）处线性化系统（1）可得其Jacobi矩阵，

由|λI_J|=0可得5个特征值为λ1=_19.4534，λ2=5.5193+ 3.1942i，λ3=5.5193_3.1942i，λ4=_6.1224，λ5=_1.1295。其中3个负的实根表示在这3个方向收缩，一对共轭复根的实部为正说明平衡点S2（4.32，0，14.0，0，43.2）为指标2的不稳定鞍点。

在平衡点S3（_4.32，0，14.0，0，_43.2）处线性化系统（1）可得其Jacobi矩阵，

由|λI_J|=0可得5个特征值为λ1=_6.9549+12.1504i，λ2=_ 6.9549_12.1504i，λ3=_0.4746+4.2467i，λ4=_0.4746_4.2467i，λ5=_0.8076。其中1个负的实根表示在这1个方向收缩，2对共轭复根的实部为负说明平衡点S3（_4.32，0，14.0，0，_43.2）为稳定焦点。

在平衡点S4（_13.3，25.3，1.33，16.9，_284.0）处线性化系统（1）可得其Jacobi矩阵，

由|λI_J|=0可得5个特征值为λ1=_9.1149，λ2=_2.6059+ 4.5315i，λ3=_2.6059_4.5315i，λ4=_0.67+0.3003i，λ5=_0.67_ 0.3003i。其中1个负的实根表示在这1个方向收缩，2对共轭复根的实部为负说明平衡点S4（_13.3，25.3，1.33，16.9，_284.0）为稳定焦点。

通过以上分析，在参数a=10，b=8/3，c=28，d=2下，系统产生混沌现象。

5　系统参数的影响

非线性动力系统的动力学行为主要由系统参数决定，随着系统参数的变化，系统表现出极限环（周期轨或拟周期轨）和奇怪吸引子等不同的非线性行为，即出现Hopf分叉和混沌现象。分岔图显示，当固定其余参数只有一个参数发生变化时，系统表现出不同的动力学行为，为叙述方便，这里只列出改变参数的区间范围。在a∈［10，16］，b∈［2.4，4.5］，c∈［8，28.5］，d∈［0，20］，区间内变化，系统表现出混沌或超混沌行为，如图6所示。下面通过吸引子相图可以进一步验证分岔图中的结论，如图7所示。

图6　参数对变量x的分岔图

6　结论

文中研究了一种五维超混沌类Lorenz系统，对系统的基本动力学行为进行了深入的研究，包括功率谱、Poincare截面、分岔图等。分析表明该系统具有丰富的动力学行为，系统在参数变化时的动力学行为的演变呈现出周期、复杂周期（拟周期）、混沌以及超混沌运动，这些结论为系统的电子振荡电路的实现和通信工程设计等应用提供了理论依据。

图7　周期轨或拟周期轨相图

［1］Lorenz E.N.Deterministic non_periods f1ows［J］.Journa1 of Atmosphere Science，1963，20（2）：130_141.

［2］尹社会，张勇，张付臣，等.基于Lorenz系统的强迫Lorenz混沌系统的动力学研究［J］.东北师大学报：自然科学版，2014，46（1）：42_47.

［3］Guan_rong CHEN，Tetsushi UETA.Yet another chaotic attractor［J］.Internationa1 Journa1 of Bifurcation and Chaos，1999，9（7）：1465_1466.

［4］Jin_hu Lü，Guan_rong Chen.A new chaotic attractor coined［J］.Internationa1 Journa1 of Bifurcation and Chaos，2002，12 （3）：659_661.

［5］Jin_hu Lü，Guan_rong Chen，Dai_zhan CHENG，etc.Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system［J］. Internationa1 Journa1 of Bifurcation and Chaos，2002，12 （12）：2917_2926.

［6］尹社会，张勇，皮小力.自治混沌系统的动力学行为及计算机仿真［J］.广西物理，2015，36（1）：32_37.

［7］高智中.一个新超混沌系统及其线性反馈同步［J］.中山大学学报：自然科学版，2012，51（6）：30_34.

［8］章秀君，吴志强，方正.超混沌系统的构造方法研究［J］.计算机工程与应用，2014，50（2）：92_98，151.

Nonllnear dynamlc behaVlor of a lorenz-llke hyPerchaotlc system and lts comPuter slmulatlon

XU Hong-peng，YIN She-hui，ZHANG Yong
（Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473000，China）

The non1inear characteristic properties of a nove1 five-dimensiona1 Lorenz-1ike hyper-chaotic system is further investigated by differentia1 equation theoretica1 ana1ysis and simu1ative ana1ysis based on Mat1ab software.The symmetry of system，dissipation，the stabi1ity of the equi1ibrium points，the phase diagram，time domain waveform，Lyapunov exponents and Lyapunov dimension，bifurcation diagram，Poincaré mapping diagram and the power spectrum are given by Mat1ab software.The resu1ts showed the nove1 chaotic system has rich dynamic behavior.The theoretica1 basis is provided for chaotic contro1，sychronization and encryption communications engineering and so on.

Lorenz-1ike hyper-chaotic system；bifurcation；dissipation；power spectrum

TN911.6；TN918.1

A

1674_6236（2016）10_0038_04

2015_07_13稿件编号：201507087

河南省科学技术发展计划项目（142300410416）

徐鸿鹏（1980—），男，河南南阳人，讲师。研究方向：计算物理和大学物理教学。