浅析CH-γ方程中解的求法

邹灵果

(厦门海洋职业技术学院，福建 厦门 361009)

0 引言

近年来，研究非线性方程的方法已趋于成熟，许多学者利用各种方法在研究一些典型的非线性方程中，得到了一些很有意义的解。其中行波解是非线性偏微分方程非常重要的一类解，并已经发现很多典型的非线性偏微分方程有丰富的行波解。例如，著名的KdV方程：ut-6uux+uuxxx=0[1]有光滑的孤立波解；CH方程：ut-uuxxt+3uux=2uxuxx+uuxx[2]有孤立尖波解等行波解；Fornberg-Whitham方程：ut-uxxt+ux=uuxx-uux+3uxuxx[3]在一定条件下会出现爆破的行波解。除此之外像Burgers方程、Sine-Gordon方程、KP方程等都有丰富的行波解。像辅助方程法[4](代数方法)，广义椭圆方程法[5]，F-展开法[6]，和平面动力系统分支理论[7]都被运用到研究非线性偏微分方程领域中。这四种数学方法一直都是非线性分析很好的工具。本文利用W.Rui提出的一种改进的方法[8]——积分分支法来求解非线性偏微分方程。这种改进的方法不像分支理论那样需要涉及复杂的相图分析，它很容易就能够满足。为积分分支法在解非线性偏微分方程的应用奠定基础。

1 非线性偏微分方程的积分分支法

1.1积分分支法的概述

对一个给定的(n+1)维非线性偏微分方程：

E(t，xi，uxi，uxixi，uxixj，utt，…)=0(i，j=1，2，…，n)，

(1)

积分分支法简单过程如下：

P(ξ，φ，φξ，φξξ，φξξξ)=0

(2)

这里μi(i=1，2，…n)是任意非零常数。

反复对(2)积分直到它变成下面的二阶非线性常微分方程：

G(φ，φξ，φξξ，φξξξ)=0

(3)

那么进行下一步。

(4)

(5)

这里的τ是参数。如果系统(4)是一个积分系统，那么方程(4)与方程(5)有如下相同的积分：

H(φ，y)=h

(6)

这里是积分常数。一般情况下，函数(6)满足下面关系：

y=y(φ，h)

(7)

(8)

如果表达式(7)是一个分式，那么把(7)代入(5)的第一个方程并积分之，得到：

(9)

因为方程(1)的参数值和方程(6)，(7)中的常数h是变化的，方程(8)，(9)也是一样，所以叫这些积分表达式为积分分支。不同的积分分支相当于不同的行波解。以上为积分分支法的全部过程。

1.2积分分支法的改进

W.Rui[8]在积分分支法的基础上结合Jacobi椭圆函数积分对积分分支法进行了一些改进：

由系统(4)得到：

(10)

或者由系统(5)得到：

(11)

根据A，B，…，C或P，Q，…，R的取值结合表1、表2得到方程(1)的解。

表1 方程F′2=RF2+QF3+PF4的解

表2 方程F′2=RF2+QF3+PF4的参数选择

2 采用积分分支法求CH-γ方程的精确解

2.1对CH-γ方程的约化

首先对CH-γ方程：

ut+c0ux+3uux-α2(uxxt+uuxxx+3uxuxx)+γuxxx=0，

(12)

作变换，令u=φ(ξ)=φ(x-ct)，其中，ξ=x-ct，x为波长，t为时间都是变量，c为波速为待定参数，

则方程(12)变形为：

(c0-c)φ′+3φφ′-α2(-cφ′′+φφ′′+3φ′φ′′)+γφ′′=0，

(13)

方程(13)两边对ξ积分得：

2(c0-c)φ+3φ2+2(α2c+γ-α2φ)φ′′-2α2(φ′)2=0，

(14)

令φ′=y，则(14)变成下面两个微分系统：

(15)

再令dξ=2(α2c+γ-α2φ)dτ，

(16)

则系统(15)变为：

由(17a)/(17b)得：

其中h为积分常数。

(21)

结合(16)，(21)可以变形为：

(22)

2.2求CH-γ方程的精确解

(1)求CH-γ方程的参数解

情形I：h=0

则方程(22)变形为：

(23)

dξ=D(1+Eφ)dτ。

(24)

(25)

这里τ是参数，图1是其波形图。

图1 波参数解(25)波形图

图1b参数条件：α=1，γ=2，c=10，c0=2，ε=-1，τ=[-0.2…0.10609])

类似的结合表1和方程(24)，得到方程(12)的解如下：

(26)

(27)

图2是解(27)的波形图。

图2 波参数解(27、33)波形图

图2b参数条件：α=2，γ=3，c=5，c0=5，τ=[-4.5302…4.5])

(28)

图3是解(28)的波形图。

图3 波参数解(28)波形图

图3b参数条件：α=4，γ=2，c=5，c0=2，ε=-1，τ=[-0.1005…5.3])

(29)

图4是解(29)的波形图。

图4 波参数解(29)波形图

图4b参数条件：α=2，γ=3，c=1，c0=10，ε=-1，τ=[-2.93…4.8701])

(30)

图5是解(30)的纽子波与反扭子波的波形图。

图5 波参数解(30)波形图

(31)

图6是解(31)的波形图。

图6 波参数解(31)波形图

(32)

(33)

解(33)是孤立波解，图2是其波形图。

情形Ⅱ：h≠0

(34)

φ(τ)=sn(τ，r)，

(35)

图7b参数条件：r=0.99，c0=5，γ=-0.8126146357，τ=[-29.52…23.45]

图7 波参数解(36)波形图

把方程(35)代入方程(26)，两边积分，可得到方程(12)一个特殊的周期波参数解：

(36)

图7是其波形图。

(37)

图8是其波形图。

图8 波参数解(37)波形图

(38)

(39)

(2)求CH-γ方程的显式解

从方程(20)，定义

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

把方程(44)分离变量两边积分得：

(45)

(46)

3 结论

本文采用积分分支法结合Jacobi椭圆函数积分在不同的参数条件下得出了方程(12)的多种参数行波解和一种显示解，包括纽子波解、反纽子波解、周期波解、孤立波解等行波解，并与原文献相比出现了一些新的结果。