加权无穷序列空间上集合的列紧性

赵文强, 张一进

(1. 重庆工商大学数学与统计学院, 重庆　400067; 2. 重庆邮电大学理学院, 重庆　400065)



加权无穷序列空间上集合的列紧性

赵文强1, 张一进2

(1. 重庆工商大学数学与统计学院, 重庆400067; 2. 重庆邮电大学理学院, 重庆400065)

加权无穷序列空间lp(φ)是通常lp空间的推广.本文考虑其集合紧性问题，证明了当p≥2时,M⊂lp(φ)为列紧集的充要条件是M一致有界且具有某种意义上的一致收敛性.这一结果丰富了泛函分析的内容.

加权无穷序列空间;紧集;ε-网;一致有界;一致收敛

紧性概念是泛函分析中一个基本且重要的内容[1-4],应用于现代分析学的多个领域,如偏微分方程的稳定性等问题.因此,对于一些具体距离空间上集合的紧性问题进行探讨,对准确把握紧性的概念及其应用是有裨益的.文献[5]讨论了特殊无穷序列空间l2和c0上的有界线性算子的矩阵表示,文献[6]研究了序列空间的有界逼近性质和紧逼近性质.我们考虑具有权数的无穷序列空间lp(φ)(p>0)上的集合紧性问题.

设φ是定义在实数集R上的非负光滑函数,p>0,加权无穷序列空间

lp(φ)={ξ=(ξ1,ξ2…):ξi∈R,

是一类重要的Banach空间,其中φ称为权数.lp(φ)中的范数由

lp(φ)是lp的推广,当φ=1时,lp(φ)为通常的序列空间lp.

我们首先给出与集合紧性相关的概念和结果[1-3].

定义1设X为度量空间,M是X的子集,M0是M的子集,ε>0.如果对任意的x∈M,总存在y∈M0,使得x属于y的一个ε-邻域U(y,ε),即x∈U(y,ε),那么称M0是M的一个ε-网.如果M0还是一个有限集合,则称M0是M的一个有限ε-网.

引理1设X为完备度量空间,M⊂X,则M是X中的列紧集的充要条件是对任意的ε>0,M在X中存在有限ε-网.

例如，X=R1=(-∞,∞)是非紧区间,事实上,属于它的数列ξn=2n,n=1,2，…不包含任何收敛子列.但由Bolzano-Weierstrass定理知R1中的任意有界集是列紧的,而任意有界闭集是自列紧的,即是紧的.因此,任意有限闭区间[a,b]是R1中的紧集,有限开区间(a,b)是列紧集.一般地,RN中的紧集与有界闭集是一致的.在一般度量空间X中,可以证明紧集一定是有界闭集,但反之不然,除非X是有限维空间. 例如,考虑加权空间lp(φ)中的单位球

Bφ={x:‖x‖lp(φ)≤1}.

所以Bφ不是紧的.

下面给出加权无穷序列空间lp(φ)上的集合紧性判断条件.这里的权数φ为定义在R上的非负光滑函数.

定理1设2≤p<∞,M为lp(φ)的子集,则M为列紧集的充要条件是：

(a)M在lp(φ)中一致有界;

(1)

令c0=max{‖x1‖lp(φ),‖x2‖lp(φ),…,‖xs‖lp(φ)}.利用范数的三角不等式得到

另一方面,利用ε-网中的这有限个元素{x1,x2,…,xs}⊂lp(φ),根据收敛级数的柯西准则,显然可以找到共同的i0=i(ε)>0,使得当i≥i0时,

(2)

由此推出：

(3)

因此,根据(1)-(3)式,对(2)式中获得的i0=i(ε)>0,当i≥i0时,对任意的ξ=(ξ1,ξ2，…)∈M,有：

这表明对充分小的ε,有：

于是条件(b)得证.

充分性. 对任意的ε>0,根据条件(b),存在i0=i(ε)>0,当i≥i0时,对任意的ξ=(ξ1,ξ2，…)∈M,有：

(4)

令

G0=max{φ(1),φ(2),…,φ(i0)}.

由于φ是非负连续函数,故G0为有限正常数.设集合

ξi0+1,…)∈M}

(5)

(6)

于是,根据(6)式有：

(7)

(8)

则容易验证这样得到的有限个无穷序列ξ1,ξ2,…,ξs属于lp(φ).根据(4)式和(7)式,对任意的ξ=(ξ1,ξ2…)∈M,有

按(8)式定义的元素构成的集合{ξ1,ξ2,…,ξs}为M在lp(φ)中有限ε-网.由ε的任意性,再一次运用引理1,充分性得证.

[1]程其襄,张奠宙.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社,2003.

[2]郭懋正.实变函数与泛函分析[M]. 北京：北京大学出版社,2005.

[3]李国祯.实分析与泛函分析引论[M]. 北京：科学出版社,2004.

[4]邱曙熙,李毅轩.实变与泛函学习指导[M]. 厦门：厦门大学出版社,2004.

[5]李嘉,李扬荣.关于序列空间上的有界线性算子的教学探讨[J].西南师范大学学报(自然科学版), 2012, 37(6): 225-229.

[6]林贵华.序列空间中的逼近性质[J].大连理工大学学报(自然科学版),1996, 36(1):1-5.

(责任编辑穆刚)

Pre-compactness of sets in weighted space of infinite sequences

ZHAO Wenqiang1,ZHANG Yijin2

(1. School of Mathematics and Statistics, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067,China；2. School of Science, Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065, China)

The weighted infinite sequences space lp(φ)is a generalization of the general infinite sequences space lp.In this article, the compactness of sets M⊂lp(φ) is discussed for p≥2, and prove that M is pre-compact in lp(φ) if and only if M is uniformly bounded and uniformly convergent in some sense. The result obtained here enriches the contents of functional analysis.

weighted space of infinite sequences;compact set;ε-net;uniform boundedness; uniform convergence

2016-04-23

重庆市自然科学基金项目(cstc2014jcyjA00035);重庆市教育委员会科学技术项目(KJ1400430).

赵文强(1969—)，男，四川南江人，副教授，博士，主要从事泛函分析及其应用方面的研究.

O177. 3

A

1673-8004(2016)05-0012-03