预设铺垫问题：难题讲评用力点

☉江苏省泰州市姜堰区实验初级中学孔忠娣

预设铺垫问题：难题讲评用力点

☉江苏省泰州市姜堰区实验初级中学孔忠娣

在最近一次中考模考测试中，我们改编了一道把关题，不少学生对第二、三问显示出不太适应的状态，为了追求较好的讲评效果，我们对这两问进行了认真准备，特别是预设了大量的铺垫问题，取得了较好的讲评效果.本文先呈现该题的思路突破，并给出跟进的教学设计，与大家分享交流.

一、模考题与思路突破

模考题：如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+ c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D.

（1）求b、c.

（2）设点M在x轴下方的抛物线上，当∠ABM=∠CBD时，求出点M的坐标.

（3）以OB为边在第四象限内作等边△OBP.设点N（n，0），且n＞1，连接PN，把线段PN绕点P顺时针旋转60°得PE，求线段DE的长的最小值.

图1

图2

思路突破：（1）把点A、B的坐标代入y=x2+bx+c中，可求出b=-2，c=-3.

（2）这个小问的起点是首先分析△BCD的形状，可以计算出BC、CD、BD的长，根据勾股定理逆定理发现∠BCD为直角，于是，此时若在y轴上取一点Q（0，-1），如图2，作射线BQ交抛物线于点M，则点M就是符合要求的（满足∠ABM=∠CBD）.进一步再求点M的坐标时，可以先分析出直线BQ的解析式为，再把与y=x2-2x-3联立，可解出点M的坐标

（3）先读懂题意，然后分离图形、排除干扰，如图3，基于“一线三等角”的模式经验，构造△OPN≌△KNE，可得KE=ON=n，再过点E作EH⊥x轴于点H，过点D作 DG⊥EH于G点，可以用含n的式子表示出，进一步在Rt△DEG中利用勾股定理表示出，化简得，由二次函数的性质可分析出：当n=2√3-1时，DE2有最小值7+4√3，相应地，DE有最小值2+√3.

图4

图3

另解分析：如果上述解法在构造上显得较为繁杂，并且对于数式变形要求也太高的话，有理由让我们重新寻找问题的结构.如图4，连接BE，可证△PON≌△PBE，得出∠PBE=∠PON=60°，即点E的运动轨迹在一条直线（直线BG）上！这很关键，此时点D到E的距离的最小值就是点D到直线GE的距离.过点D作DE⊥BG于E点，此时△DEG是一个含30°角的直角三角形，容易求出DG=4+ 2，于是DE=2+.

二、模考题讲评的教学设计

考题呈现：如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=x2+ bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D.

问题1：能确定该抛物线的解析式吗？你有哪些不同的方法？

问题2：求证△BCD是直角三角形.

问题3：求tan∠CBD的值.

问题4：若在y轴的负半轴上有一点Q，且∠ABQ=∠CBD，求直线BQ的解析式.

问题5：若在x轴的下方，抛物线上有一点P，且∠ABP=∠CBD，求点P的坐标.

问题6：以OB为边在第四象限内作等边△OBP，求点P的坐标；

问题7：设点N（n，0），且n＞1，连接PN，把线段PN绕点P顺时针旋转60°得PE，有人认为点E一定在某直线上，你觉得呢？

问题8：在上一问的条件下，连接DE，DE是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由.

问题9：有同学构造出图3，在Rt△DEG中利用勾股定理表示出DE2，你知道他是如何分析的吗？

预设意图：“问题1”对应着模考题的第一问，“问题2～5”对应着模考题的第二问，“问题6～9”对应着模考题的第三问，试图通过系列问题的驱动，引导学生更好地思考把关题，并自主获得问题的解答.

讲评之后，再给一道简单变式后的跟进再练.

变式再练：如图5，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点G.

图5

（1）求A、B两点的坐标.

（2）求证：△BCD是直角三角形.

（3）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标.

（4）以OB为边在第四象限内作等边△OBM.设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OG），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MH，试分析∠DBH的大小是否变化，并说明理由.

（5）在（4）中条件下，求线段DH的长的最小值.

三、进一步的思考

1.难题讲评重在预设铺垫过渡问题

我们见过有些试卷讲评课，由于教师仅仅满足于自己解题或思路贯通就开展解题教学，使得学生在关键处、障碍处仍然没有得到有效的突破，讲评时的重点不够突出，讲评过程略显平均用力，使得讲评效果不太理想.基于上述认识，我们认为对于较难习题的讲评，教师备课的重点应该是精心设计铺垫问题或引导问题，下面截取一张我们在讲评时的PPT图片（如图6），有利于大家了解我们是如何渐次呈现系列追问的.

2.回顾反思重在揭示问题深层结构

数学较难问题的求解不能满足于一种解法，带领学生思考多种解法是必要的，更为重要的是思考多种解法的和谐与一致，即“殊途何以同归”.从模考题的第三问来看，使用第一种方法获得思路之后，仍然需要思考为什么有这样的答案，通过“数式变形”算出来的结果如何获得直观上的确认？这就有了我们关于该问题的另一种方法，即引导学生发现点E的运动轨迹是一条直线！

3.通过变式再练有效提高讲评实效

根据多年习题讲评的教学经验，对于较难问题通过讲评一次就能懂的学生不会超过三分之一，近三分之二的学生需要有跟进的变式再练，所以为了提高这类难题的讲评效果，我们倡导对所讲评的习题简单改编后再让学生练习，这也是我们在上面提供的教学设计最后附上变式再练题的原因.这里值得一说的是两点，第一，变式的距离不能太大，一般设计成4～5个小问，其中前4个问题都要严格对应讲评过程中提到的问题结构的解法关键；第二，最后一问也可以适当拓展或生长，给少数优秀学生提供挑战、向上的机会.

四、结束语

习题教学、试卷讲评教学是一首老歌，如何把这首老歌唱出新意，唱出实效，是值得每个一线教师深入思考的课题.本文只是结合一道试卷讲评的设计呈现了自己一些个性化的做法与思考，既不一定准确，更不一定正确，欢迎更多同行提供自己的实践案例，与大家分享，共同研修.

1.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.夏盛亮.引导回归教材，倡导开放教学——一次县级期末卷的命题取向分析［J］.中学数学（下），2014（1）.

4.鲍建生，顾泠沅，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1，2，3）.Z