问题设计凸现智慧与艺术课堂演绎呈现精彩并高效──初中数学课堂教学问题设计的案例剖析与思考

江苏省张家港市教育局教研室　丁祖元

问题设计凸现智慧与艺术课堂演绎呈现精彩并高效──初中数学课堂教学问题设计的案例剖析与思考

自古以来,教育家们无不注重"问题设计"的作用.美国数学家哈尔莫斯(H.P.Halmos)认为,问题是数学的心脏,数学的真正组成部分是问题和解;亚里士多德曾说过"思维从对问题的惊讶开始";孔子也提出了"以疑激思,以疑引思"的观点.实践表明,问题设计的优劣直接影响着数学课堂教学的质量.

数学教学是指数学活动的教学,数学活动是指思维活动,而课堂提问是驱动学生思维活动的方式,恰当的提问和合理的问题在构建知识的过程中占有十分重要的地位.要提问题比较容易,教材给我们提供了系统的教学过程、教学内容、教学参考.但是好的问题的设置不仅取决于教学上的考虑,还与教学班级学生的认知水平密切相关,而教材是重要知识点的精华与浓缩,往往言简意赅,或者限于篇幅,有些过程未能加以详细说明,教师作为教材与学生之间的协调者,有必要对简约的内容进行适当地补充和必要地拓展,因此,我们除了要充分利用好教材提供的素材,还要依据教学内容、教学环境、教学对象创造性地进行问题设计,把比较抽象的数学概念、法则、定理、技能、方法转化为学生易于掌握的、较为具体的、熟悉的数学知识,达到对数学问题的本质领悟,以实现数学的知识形态向教育形态转化.

一、紧扣教学目标,在重点、难点处设计问题,体现一个"准"字

教学目标是教学活动的出发点,又是课堂教学的归宿,贯穿于教学活动的全过程,对整个教学活动具有很强的引领性和规范性,影响着数学教学活动的可控性和有效性.因此,教师在进行教学设计前,应认真研读教材,分析每一个知识要点,领会编者的意图,厘清重点、难点,准确把握好教学的起点,设计好教学内容和教学活动的各个环节,特别要在重点、难点处设计紧紧围绕教学内容、具有指导性的问题,力求做到既科学、合理地利用好教材,适度地拓宽教学内容,又能化难为易,启迪学生的思维,引导学生掌握正确的思考方法,以达到深刻理解知识之目的,充分体现课堂教学的精准度.

案例1:"合并同类项"教学片段.

……

师:通过前面的学习,我们知道,同类项必须具备两个"相同":一是所含字母相同;二是相同字母的指数也相同.下面请大家思考以下几个问题.

问题1:请你写出几个同类项的式子.

生1:ab与-2ab.

师:能不能再写一个式子与生1写的两个式子是同类项呢?

生2:10ab.

师:还有吗?有多少个?

众生:还有无数个!

师:很好,实质上同类项是两个或多个单项式之间的一种关系,并且同类项与它们的系数无关.

问题2:请你写出两个看似是同类项,却不是同类项的式子,并说明理由.

师:非常好,理由也很充分,还能写出其他式子吗?

生4:x2y与5x2z,它们所含字母不相同.

师(追问):x2y与5x2yz是不是同类项呢?

生4:也不是,它们所含字母也不相同.

师:要判别两个(或多个)式子是不是同类项,我们必须紧紧抓住定义中的两个"相同".

问题3:请你写出2个看似不是同类项,却是同类项的式子,并说明理由.

生5:2xy与-2yx,因为利用乘法交换律-2yx=-2xy,所以2xy与-2yx所含字母相同,相同字母的指数也相同.

师:生5告诉我们一个结论:同类项与字母的顺序无关.

师:我们知道圆的面积公式为πr2,那么,πr2与4r2是不是同类项呢?

生6:不是的,它们所含字母不相同.

生7:π不是字母,是一个数,所以πr2与4r2是同类项.

师:是的,π是一个特定的数,因此,πr2与4r2是同类项.并且,我们还规定所有的常数都是同类项.例如,5、-2、2π等都是同类项.

……

教学思考:"数学课程标准(2011版)"指出:"教学中注重结合具体的学习内容.设计有效的数学探究活动,使学生经历数学的发生、发展过程,是学生积累数学活动经验的重要途径."上述教学片断中,通过三个问题的探讨,学生对同类项的概念有了非常深刻的理解,既突破了重点,又解决了难点,在参与举例、观察、类比等数学活动中,激发了学生的思维灵感,记录了学生思维的过程,展示了学生思维的结果,完善了学生的思维品质,学生从方法与过程等角度整体掌握了知识,为合并同类项教学的展开奠定了坚实的基础.

二、选准合适时机,在新旧知识衔接处设计问题,体现一个"简"字

我们知道,许多新的知识的产生、形成和发展是以原有知识为基础的,原有知识的稳定性、清晰性、与新知识的可联系性,是制约学生能否获得清晰、稳定、精确化的新知识的重要条件.因此,在原有知识向新知识过渡的时候,教师应当致力于使新知识与学生数学认知结构中已有的知识、经验建立实质性联系,在新知识与原有知识的衔接处设计适当的铺垫性问题,引导学生进行知识的迁移,达到原有知识向新知识过渡的目的,优化和发展学生的数学认知结构,充分体现课堂教学的简洁性,使课堂教学深入到数学教育过程的核心.

案例2:"勾股定理"教学片段.

师(出示图1):请你阅读以下问题,并思考解答方案.

问题1:如图1,在8X8的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,你能求出四边形ABCD的面积吗?

生1:将四边形ABCD的面积看作是总面积与4个直角三角形面积之差.

图1

师:正确.生1应用了"割补法"来求面积,将求不规则的图形面积问题转化为我们熟悉的规则图形面积之差(和).值得我们关注的是这样的"基本图形"中规则图形与不规则图形之间的组合与分解.

(出示问题2,等待学生思考)

问题2:如图2,先任意画一个正方形EFGH,在四边上顺次截取AE=BF=CG=DH=a,连接AB、BC、CD、DA,并设EB=b.你能判断出四边形ABCD的形状吗?

生2:在正方形EFGH中, HE=EF=FG=GH,由AE=BF=CG= DH=a,得HA=EB=FC=GD.所以Rt△AEB≌Rt△BFC≌Rt△CGD≌Rt△DHA,从而可以判断四边形ABCD是正方形.

(板书证明过程略)

师:四边形ABCD是正方形,那么这个"基本图形"是规则图形与规则图形之间的组合.如果我们设小正方形ABCD的边长为c,请你思考问题3.

问题3:如图3,在问题2的条件下,若设AB=c,你能求出a、b、c之间的关系吗?

图2

图3

生3:利用与问题1相同的解法,得c2=(a+b)2-4Xab,化简得c2=a2+b2.

师:我们观察Rt△AEB,这个结论意味着什么呢?

生4:在直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边的平方和.

师:归纳得很好,这就是我们今天要学习的内容---勾股定理.

……

教学思考:"勾股定理"的教学设计的关键在于发现基本图形,发现勾股定理,发现勾股定理的证明方法,而难点是如何让这三个发现自然发生,演绎过程水到渠成."问题串"的设计从学生最熟悉的"算"面积入手,由具体的数开始,再过渡到字母运算,让学生经历从特殊到一般、从猜想到证明的过程,实现了定理的"发现""证明"都由"计算"演变而来.这样的设计"起点低、观点高","画图""计算""推理"巧妙衔接,更符合学生的认识,简洁而自然.

三、关注学情反馈,在学生思维阻滞处设计问题,体现一个"活"字

课堂教学中,教师要时刻关注教学的进程,关心每一位学生的学习状态,切实提高课堂效率.有研究表明,学生对问题产生困惑并产生求解问题的强烈愿望,或者学生遭到理智的挑战,这个时候是给学生答疑解疑的最佳时机.教师要及时在学生思维容易阻塞的地方巧妙设疑,创设"愤""悱"情境,给学生提供合作交流的机会,集思广益,开拓思路,释疑解疑.同时,还应根据学生在课堂中反馈的情况,进行必要地点拨、归纳、提炼,并适度地对所涉及知识和方法进行变式训练,培养学生思维的灵活性,发展其创造力.

图4

案例3:"勾股定理专题复习---翻折问题"教学片段.

如图4,在矩形ABCD中, AB=6,AD=10,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,使点D落在点F处, AF与BC交于点E,求线段CE的长.

生1:假设CE=x,则BE=10-x.

在Rt△EFC中,只知道CE=x,CF=6;

在Rt△ABE中,只知道BE=10-x,AB=6.

因此,我无法利用勾股定理来列方程.

师:好的.在这个问题中,我们暂时还没有找到一个直角三角形,它的三边要么是已知量,要么是用同一个未知量来表示的,正如生1所说,无法利用勾股定理来列方程.

师:请仔细观察图形,回答如下问题.

问题1:除了Rt△ABC≌Rt△CDA,图中是否还存在全等三角形?说说你的理由.

生2:因为CF=AB,∠CEF=∠AEB,∠F=∠B=90°,所以△CEF≌△AEB.

师(追问):非常好,利用△CEF≌△AEB,我们能得到什么?

生3:AE=CE=x,在Rt△ABE中,BE=10-x,AB=6,AE= x,利用勾股定理列方程就能解决问题了.

师:全等三角形的相关知识是几何学习的基础,通过三角形的全等可证得线段的相等、角度的相等.全等三角形是几何知识之间联系的纽带.

问题2:除了利用全等三角形证明CE=AE,你还有其他方法说明CE=AE吗?

生4:因为AD//BC,所以∠DAC=∠BCA,由翻折可知∠DAC=∠FAC,所以∠FAC=∠BCA,所以AE=CE.

师:利用角的相等来证明线段的相等也是几何推理中最常用、最快捷的方法,我们应当予以重视.

……

教学思考:综观上述教学过程,当学生解题思路受阻时,教师不妨设置一些简单的问题作为铺垫,将需要解决的问题转化为学生熟悉的问题,进而解决问题.有时,教师还要引导学生从结论出发去探索解决问题所需要的条件,让结论与条件之间有双向沟通,逐步积累搜集信息、分析信息、加工信息、应用信息的能力.有时,教师还要引导学生从不同的角度去看待同一个问题,灵活运用不同的方法(知识)去解决同一个问题,积累解题经验,优化解题方法,形成数学思想,生成学习智慧.

四、注重内在关联,在构建知识网络处设计问题,体现一个"实"字

数学知识是一个整体,不同的数学知识之间存在着重要的联系.学生在获得数学理解的同时,应当了解、沟通知识之间的内在联系.但是在编制教材时,教学内容是以课时为单位来设计的,前后知识虽然有一定的联系,但其呈现形式还是相对独立的.加上受到初中学生认知水平、认知发展的限制,在没有教师引导的情况下,大多数学生往往不容易发现知识之间的关联.因此,在教学中,教师要在适当的时机,利用适当的形式和方法引导学生发现不同知识之间的内在联系.特别是在复习课的教学中,例题与习题的选择,既要重视章节知识的巩固、整理、归纳、提升,又要兼顾到前后知识的联系与综合,在构建知识网络处设计问题,使各部分知识之间有机地联系起来,形成一个条理化、有序化和网络化的数学知识整体.苏联教育家乌申斯基指出"智慧不是别的,而是组织良好的知识体系".只有数学知识之间上下沟通、左右逢源了,学生的头脑中才会建立起一个完整的认知结构,数学课堂教学才能扎实、有效、有智慧.

案例4:"反比例函数复习课"教学片段(初三中考复习).

图5

生1:利用OA的垂直平分线交OC于B,得OB=AB,所以△ABC的周长=AB+BC+CA=OC+CA.

师:很好,生1将求△ABC的周长问题转化成了求两条线段长之和了.

问题1:请说说OC、CA的几何意义是什么.

生2:OC、CA的长分别是点A的横、纵坐标的值.

问题2:若设点A的坐标为(x,y)(x>0,y>0),那么△ABC的周长等于多少?

生2:x+y.

师:求△ABC的周长是一个几何问题,我们将它转化成了代数式x+y的求值问题.利用代数方法解决几何问题是一种非常好的解题策略.(展示解答过程)

解:易知OB=AB,所以△ABC的周长等于OC+AC.

若设点A的坐标为(x,y)(x>0,y>0),那么△ABC的周长等于x+y.

教学思考:著名数学家华罗庚教授曾经说过:复杂的问题要善于"退","退"到原始而不失重要性的地方.本例中△ABC的周长从"AB+BC+CA"到"OC+AC",再到"x+y",实质上是一个以"形"想"数"的过程,这样的思维训练对学生发散思维能力的提升有所裨益.几何问题→代数问题→解决问题,这是一种关于解题的很流行的观点,虽然这种方法不是万能的,但它所体现的化归思想确实是非常有价值的.点A的坐标是求解本题的中间量──已知与未知之间的桥梁,设而不求、整体代入、简化运算的求解方法是学生必须掌握的基本方法之一.

在数学教学问题设计中,设计问题的目的无非是想让学生在真实的情景中自然生成教材中相应的观点和原理,或者通过设制铺垫帮助学生解决疑难问题,以保证学生学习的积极性、主动性、系统性、有效性和持久性.因此,对于问题的设计,教师要尽可能缜密思考、悬于教材、兼顾学情、科学合理,让学生从教师的问题设计中发现新知、激发情趣、启迪思维.同时在问题的教学过程中,教师还应注意自身的情感渗透,使问题在学生心灵中产生最大的吸引力,从而实现问题设计凸显教师智慧与艺术,课堂演绎呈现学生精彩并高效的目的.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012.

2.陈光林."巧设问题"打造"有效课堂"[J].中学物理,2014(3).

3.赖虎强.面积问题串算推一线牵---让勾股定理及其证明自然发生[J].中学数学教学参考(中), 2015(10).