基于数学实验视角下的二次函数图像与性质教学*

广东省广州市南沙东涌中学　霍锐泉

基于数学实验视角下的二次函数图像与性质教学*

一、问题提出

由于二次函数图像的开口方向、形状大小、位置等取决于函数表达式中各参数的值,这些参数的值往往是可以连续变化的,特别是图像的移动,采用传统的教学手段,仅靠几幅静态图形和教师讲解很难反映出图像变化的实质和影响因素,不能直观地观察数量之间的关系,给学生的理解带来困难.而在课堂上由于画函数的图像或数据运算耗时较多,影响教学任务与教学效果.如何利用信息技术开展数学实验,减少探究过程中机械的、重复性的操作,提高教学效率,使学生把更多的时间和精力用于理解数学本质、探究数学规律上,从而提高数学教学效果和质量,是数学教师面临的课题.

几何画板具有丰富的图像功能,只要给出函数表达式,就能画出初中阶段的所有函数图像.如果要探究函数图像的动态变化,通过参数数值的变化,可动态展现函数图像的变化,让学生通过观察图形的变化与参数值的变化关系,直观地了解函数的性质.因此,利用信息技术构建实验情境,通过运用实验方法,进行数学实验教学活动,已越来越显示了现代教育技术手段在数学教学中的优越性作用.下面是学生在掌握了二次函数的基本概念及图像的作法后,从数学实验的角度利用几何画板进行"二次函数图像与性质"的教学.

二、基于数学实验视角下的二次函数图像与性质教学

组织学生小组合作,提出实验要求:①四人为一组,启动几何画板软件(事前准备好探究的文件),进行实验探究,各个小组按照"数学实验报告表"提示的步骤进行小组合作探究活动;②在做实验的时候,要认真做好实验记录,然后组长组织同学们进行讨论;③请各个小组派代表到黑板前展示研究成果,并做简单汇报发言.

实验探究一:探究二次函数y=ax2(a≠0)中a对函数图像变化的影响.

首先,用几何画板做好一个将二次项系数a设计成一个可调节的参数的二次函数图像,让学生通过拖动a的变化动态探究图像的变化规律.

实验设计:

(1)拖动a点,使a>0,如图1,观察a的值和图像的变化情况.(2)拖动a点,使a<0,如图2,观察a的值和图像的变化情况.(3)拖动a点,观察思考:图像开口方向的决定因素是什么?(4)写出二次函数图像与a的关系的实验报告表.

y=ax2a>0 a<0开口方向对称轴顶点坐标性质当x>0时,y随x的增大而____;当x<0时,y随x的增大而____;当x=0时,y有最___值,为____.当x>0时,y随x的增大而____;当x<0时,y随x的增大而____;当x=0时,y有最___值,为____.

图1

图2

实验探究二:探究二次函数y=ax2+k(a≠0)中k对函数图像变化的影响.

用几何画板做好一个将常数k设计成一个可调节的参数的二次函数图像,让学生通过拖动k的变化动态探究图像的变化规律.

实验设计:(1)拖动k点,使k>0,如图3,观察k的值和图像顶点的变化情况.(2)拖动k点,使k<0,如图4,观察k的值和图像顶点的变化情况.(3)改变开口方向,拖动k点,再拖动A点,观察比对实线与虚线图像上对应点的变化情况,思考顶点的决定因素是什么?(4)写出二次函数图像与k的关系的实验报告表.

y=ax2+k a>0 a<0开口方向对称轴顶点坐标当x>0时,y随x的增大而____;当x<0时,y随x的增大而____;当x=0时,y有最___值,为____.性质当x>0时,y随x的增大而____;当x<0时,y随x的增大而____;当x=0时,y有最___值,为____. k值变化图像向上平移,k____0;图像向下平移,k____0.

图3

图4

实验探究三:探究二次函数y=a(x-h)2(a≠0)中h对函数图像变化的影响.

实验设计:(1)拖动h点,使h>0,如图5,观察h的值和图像顶点的变化情况.(2)拖动h点,使k<0,如图6,观察h的值和图像顶点的变化情况.(3)改变开口方向,拖动h点,观察对比实线与虚线图像上对应点的变化情况,思考顶点的决定因素是什么?(4)写出二次函数图像与h的关系的实验报告表.

y=a(x-h)2a>0 a<0开口方向对称轴顶点坐标性质当x>h时,y随x的增大而____;当xh时,y随x的增大而____;当x

图5

图6

实验探究四:探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)中h、k对函数图像变化的影响.

实验设计:(1)拖动h、k点,如图7,观察h、k的值和图像顶点M的变化情况.(2)改变开口方向,拖动h、k点,如图8,观察对比实线与虚线图像上对应点的变化情况,思考顶点M的决定因素是什么?(3)写出二次函数图像与h、k的关系的实验报告表.

y=a(x-h)2+k a>0 a<0开口方向对称轴顶点坐标性质当x>h时,y随x的增大而____;当xh时,y随x的增大而____;当x

图7

图8

实验探究五:探究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b、c对函数图像变化的影响.

实验设计:(1)只拖动a点,如图9,观察思考:影响开口大小的因素是什么?(2)只拖动b点,如图9,观察思考:对称轴的位置怎样变化?(3)只拖动c点,如图9,观察思考:图像沿怎样的路径变化?为什么会这样?(4)分别拖动a、b、c点,观察a、b、c的值和图像的变化情况,观察顶点M与的变化情况,思考顶点M的决定因素是什么?(5)写出二次函数图像与a、b、c的关系的实验报告表.

y=ax2+bx+c a>0 a<0开口方向开口大小a越大,图像开口越___. a越小,图像开口越___.对称轴顶点坐标性质a时,y有最___值,为____. a时,y有最___值,为____.在对称轴左边,y随x的增大而____;在对称轴右边,y随x的增大而____;当x=-b 2在对称轴左边,y随x的增大而____;在对称轴右边,y随x的增大而____;当x=-b 2 a、b、c对图像变化的影响①a决定开口的____及开口的____.②当对称轴在y轴的左边时,a、b的符号____;当对称轴在y轴的右边时,a、b的符号____.(即a、b符号左___右___)③c决定图像与y轴的相交情况,与y轴正半轴交,则c__0;与y轴负半轴交,则c___0;过原点,则c___0.

图9

三、开展数学实验教学的感悟

1.信息技术为数学实验教学注入新生命

从信息技术的视角来看,随着科学的发展,尤其是科学计算器、TI图形计算器、计算机等仪器设备越来越普及,以及几何画板、超级几何画板、z+z智能教育平台、MATLAB实验室、Mathematica等数学软件的应用,为师生利用计算机开展数学实验活动,进行探究性学习提供了硬件和软件保障.各类先进的软件为学生学习创造了空间,学生可以利用这些软件进行数学实验、数学探究、"发现"数学规律,学生通过观察、实验、归纳进行合理的数学猜想;体验数学思想方法的真谛.应该说,信息技术为传统的数学实验教学注入了新的生命和活力.

2.突出信息技术优势,给力数学实验教学

现代信息技术的广泛应用,对数学课程的内容、数学教学、数学学习等方面产生深远的影响.它的优势主要体现在快捷的计算功能、丰富的图像呈现、大数据的处理能力,为抽象的数学思维提供直观的思维背景,使静态的数学结构表现为动态的过程,使抽象是数学内容直观化、具体化,为学生学习数学知识提供感性的、直观的材料,以及提供交互式的学习和研究环境等方面.因此,在教学中一方面应重视现代信息技术与教学的有机整合,充分利用现代信息技术的优势,帮助学生更好地认识和理解数学,增强学生对数学学习的兴趣,提高教学质量;另一方面,也要注意信息技术手段的作用是"辅助",是助力于数学实验,不能让多媒体教学"喧宾夺主".信息技术应用于数学实验教学为的是突破教学难点,是对传统教学手段的有益补充,但要以开发学生的智力,挖掘学生的潜力,培养学生的能力为前提,不然就失去进行数学实验的目的和意义.

3.数学实验视角下利用信息技术开展实验教学的一般步骤

数学实验的设计流程如图10所示,其教学实施的一般步骤为:问题情境-建立-模型-操作思考-检验结论-推广一般.教师根据教学内容、学生的特点设计出"数学实验报告表".该报告表主要包括以下几方面:创设问题情境、使用何种计算机软件、实验步骤、实验数据的分析、结论的验证、知识的应用及实验报告的评价.在该表的引导下,学生完成一个个计算机操作实验,通过一系列问题解决,实现数学知识的生成与发展,达到思维的发展.

图10

4.创设宽松的实验环境,让学生亲历发现过程

数学实验教学过程中以问题情境为载体,在教师引导下,创设一种类似科学研究的情境和途径,让学生通过亲自实践获取直接经验,养成科学精神和科学态度,掌握基本的科学方法,提高综合运用所学知识解决实际问题的能力.而建构主义的学习观认为学生不是被动的知识接受者,不能把知识作为预先决定了的东西交给学生,学生对知识的接受只能靠他自己的建构完成,以他们自己的经验、信念为背景来分析知识的合理性.因此,教师要创设宽松的数学实验环境,提倡学生亲自动手操作、独立思考、自主探索、动手实践、合作交流,亲身经历探究的过程,感受数学知识的产生,体验发现学习的乐趣,从而达到建构自身良好的知识结构体系.

5.运用"最近发展区"理论,合理设计"数学实验报告表"

维果斯基的"最近发展区理论"认为学生的发展有两种水平:一种是学生的现有水平,另一种是学生潜在的发展水平,两者之间的差距就是"最近发展区".教师要通过教学指导学生的思维实现从现有的发展水平到潜在的发展水平过渡,以完成发展过程.因此,教师要通过学生的"最近发展"来设计"数学实验报告表".为此,教师必须了解和把握学生对某个知识点的现有发展水平,然后把学生的最近发展区划分为几个发展层次,最后设计引导学生实现思维向最近发展区"思维跃迁"的教学策略.

四、写在最后

利用信息技术可以给我们提供一个良好的数学实验环境,让学生在实验报告引导下进行操作实验,在操作的过程中观察与思考.数学实验让学生成为学习活动的参与者,积极探索不断构建和完善自身的知识体系,有助于学生了解数学知识形成与发展的过程;经历数学研究过程,建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯,培养学生发现、提出、解决数学问题的能力;有助于发展学生的创新精神和实践意识.充分利用信息技术丰富的图像动态演示功能,寻找信息技术与课堂教学的结合点,给力数学实验教学,使数学课堂教学更生动,教学难点突破更轻松.

1.史宁中.义务教育数学课程标准2011年版解读[M].北京:北京师范大学出版社,2012.

2.康宁.运用"几何画板"教学"二次函数"案例举隅[J].中学数学教学参考(中),2010(9).

3.郭浩荣.例谈利用信息技术开展初中数学研究性学习[J].中学数学研究(下),2013(3).

4.姜晓刚.初中数学实验教学设计的研究与实践[J].中学数学杂志,2013(10).

5.李铭.用几何画板解决二次函数的教学难点[J].中学教学参考(理科),2010(2).

*本文系广州市教育科学"十二五"规划2014年度课题《新课标下初中数学实验教学资源开发与利用研究》(课题编号:1201462544);广州市南沙区教育科学"十二五"规划课题《初中数学实验教学的开发与利用研究》(课题编号: 2014019)的阶段性研究成果.