学数学勿忘“记数学”

束长明（盐城市大丰区新丰中学）

学数学勿忘“记数学”

束长明
（盐城市大丰区新丰中学）

不少海学生认为，学数学要学会思考，要理解数学思想与方法。笔者认为，前者固然重要，但要想学好数学还要学会记忆数学，否则就会出现“巧妇难为无米之炊”。数学思路就会失去“源头”。事实上，记忆是学习的基础，对任何一门功课的学习都不能轻视记忆。死记硬背招来了不少骂名，但是死记硬背也是一个必经的过程。在理解的基础上记忆当然会更快速、更牢固，可是有时候记忆过程本身也是一个理解的过程，有些知识点记住了也就理解了，记忆和理解相互促进，一个数学公式，加深理解的过程就是在不断重复记忆，而记熟了这个公式也会帮助学习者更好地理解知识点。

苏霍姆林斯基在学困生学习应用题时不是采取大量重复的去做类型题，而是停下来和学生一起进行相关知识的积累。这种积累实际上就是一种知识的记忆、储存。在平常，我们也会发现某道题不会解，实际上是某个公式忘记了，或某个思想方法头脑里没有。陕西师大卢增儒教授在解题策略中提到的“模式识别”也说明了记忆的重要性。那么，学数学该记忆哪些知识呢？一般来说，数学基本概念、基本定义要记忆，数学的基本解题程序、几何的基本图形要熟知，数学的基本思想、基本方法要记忆。下面笔者就一道几何题谈谈知识的储存对解法自然产生的重要性。

一、试题呈现

如图1，在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：△ABC是等腰三角形。

二、解法展示

解法1：如图2过点D作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥AC，垂足为F。

因为AD平分∠BAC，所以DE=DF。又因为AD是BC边上中线，所以BD=DC，所以Rt△DBE≅Rt△DCF（HL），所以∠B=∠C，所以△ABC是等腰三角形。

解法2：如图2过点D作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥AC，垂足为F。

因为AD平分∠BAC，所以DE=DF。又因为AD是BC边

上中线，所以S△ABD=S△ACD，所以AB·DE=AC·DF，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

图1　

图2　

图3　

解法3：如图3，延长AD至点E，使得DE=AD，连结BE。

因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC，又因为∠ADC= ∠BDE，AD=DE，所以△ADC≅△EDB，所以AC=BE，∠DAC= ∠BED。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC，所以∠BAD= ∠BED，所以AB=BE，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

解法4：如图4取AC中点K，连接DK。

又因为D是BC中点，所以DK∥AB。由AD平分∠BAC，

易证得∠ADK=∠AKD，于是AK=DK。

解法5：如图5，延长AB至K，使得BA=AK，连接CK。

（思路也是中点找中点形成中位线，只不过是倍长边长）。

图4　

图5　

图6　

解法6：如图6，延长AD交△ABC的外接圆于K，连接BK，CK。

由AD平分∠BAC，可得BK=CK。易证△BDK≅△CDK，所以∠BKA=∠CKA。所以易证△BAK≅△CAK，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

解法7：前一部分雷同解法6，由△BDK≅△CDK，可证得∠BDA=90°，又BD=CD，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

解法9：由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD，CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD。由于∠BAD=∠CAD，BD=CD。于是，可得到（AC-AB）（AC+AB-2ADcos∠CAD）=0。由D是BC边上中点以及三角形三边关系可得AC+AB＞2AD，所以AC+AB-2ADcos∠CAD不为0。所以AC=AB，所以△ABC是等腰三角形。

三、解题思考

只有我们头脑中储存了解题需要的基本知识、基本图形、基本方法，甚至一些类型的典型题，然后解题时按照相应的模式识别、知识点的关联，解法就会自然生成。例如，本题解法1联想到全等三角形对应边相等而构造的辅助线。解法2利用角平分线上的点到角两边距离相等结合等积法。解法3联想到三角形倍长中线而获得解法。解法4、5主要由中点联想到储备的中点找中点构造中位线的方法，辅助线和解题方法油然而生。解法6、7由角平分线使用方法自然联想到在圆中圆周角相等所对弦相等这一定理，于是辅助线就自然产生。解法8是联想到正弦定理处理边角关系可把题中的相关量放入等式中求解。解法9联想到余弦定理具有处理边角关系的功效。

总之，在平常教学中要引导学生题后归纳反思，建构知识方法体系，并要求学生记住这些知识方法，这样解题时解法就会自然产生了。

顾建伟.从知识的关联远近看解法自然生成［J］.中学数学教学参考：中旬，2016（3）：37-38.

·编辑温雪莲