抽丝剥茧见真意踏雪留痕显实效

陆永宏

[摘 要] 复习课是对已经学过的知识再加工、再深化的过程，其最佳的效果是融知识技能、思想方法、创新能力于一体，让学生复习知识、理清脉络、凸显思想方法. 本文从轴对称复习课自然展开，分为四个过程，抓住共性特征，从而让学生在学习知识的前提下，掌握整体结构，提升能力.

[关键词] 轴对称；复习课；通式通法

众所周知，复习课是对学过的知识再加工、再深化的过程. 数学复习课最佳的效果是融知识技能、思想方法、创新能力于一体，学生在定义、定理、公式、法则学习的基础之上，把原来新授课的知识点重新串联起来，形成知识体系链状结构，让学生把没有掌握到位的知识进行再加工和提炼. 这种重新建构，是让学生从更高的视野和角度俯视新授课的内容，从转化的角度去发现、思考、解决综合性问题，在难点突破处做到“抓铁留痕”；在通式通法处力求做到“踏雪留印’，这个“印记”不仅仅是一种旧知识的重现，更需要感悟数学本真，从知识的融会贯通中理解和思考通式通法的合理性和价值. 教师引导学生思考解法的理由和合理性，这样的解法对于同一类问题有何启发和指导意义？是否可以进行迁移和创新？这样的复习课设计，不仅上出了新授课的味道，更能使学生在不断的思辨中体会数学学习方法，悟道与体验同时进行，在同与不同的思辨中得到能力的发展. 因此，教师应该创造性地组织复习活动，不急于抛出自己的解法、观点，而是在对话教学中享受“慢教育”，“留白”中让学生通过独立思考，表达对相同问题的个人见解. 虽然学生理解的程度不同，却各具特色. 在不断追求新知的过程中，学生的双基能力不断夯实，复习过程也呈现出了喜人的再发现、再创造场面，发散彻底，聚焦到位，体验实践中结合教师进行的变式训练让学生参与试讲，教师则把握思维核心，立足于通法通式感知，充分发挥引导作用，基于学情的试问试讲技巧指导无一不彰显执教者的深厚功力！

轴对称是数学中常见的图形变换，也是中考常见考题，轴对称图形作为其中重要的考点之一，常常以不同的形式出现在我们的中考题中，下面以复习课的设计为纲要，以近年来各地的中考题为例，对难度和层次不断深入，通过四个“一”的形式来实践轴对称复习课的一些做法，借以和同仁探讨交流.

以题为基——关于轴对称图形

的基础题

原题 如图1，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）

A. 13 B. 15 C. 17 D. 19

分析 根据线段垂直平分线的性质可以得出AD=CD，AE=CE，所以AC=8. 由△ABC的周长为23，EC=4，易得△ABD的周长.

解答 因为DE是AC的垂直平分线，所以AD=CD，AE=CE=4. 所以AC=8. 因为△ABC的周长为23，所以AB+BC+AC=23，所以AB+BC=15. 所以△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B.

变式 如图1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm.

（1）求AE的长；

（2）若AD=BD，∠C=30°，求∠B，并探索此时AB与DE的位置关系.

以图为主——关于轴对称图形

的作图题

原题 如图2，在10×10的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的位置如图所示.

（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△ABC；

（2）将△ABC向左平移3个单位长度后得到△ABC，画出△ABC.

分析利用轴对称的性质可得出三角形各顶点的对应位置，再用平移的性质可得出各对应点的位置.

解答 如图3，△ABC和△ABC即为所求.

变式 如图2，在10×10的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的位置如图所示.

（1）请求出图中△ABC的面积；

（2）请在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小；

（3）在方格纸中找一点D（点C除外），使得△ABD为等腰三角形，请画出所有符合条件的点D.

以法为本——关于轴对称图形

的综合题

原题如图4，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE. 已知∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.

（1）求证：AD=BE；

（2）求∠AEB.

分析（1）证明两条线段相等是中考常见题型，而通法是证这两条线段所在的两个三角形全等.

（2）结合（1）中所证的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB.

解答 （1）因为∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，所以∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°. 因为∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，所以∠ACD=∠BCE. 因为△ACB和△DCE均为等腰三角形，所以AC=BC，DC=EC. 在△ACD和△BCE中，因为AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，所以△ACD≌△BCE（SAS）. 所以AD=BE.

（2）因为△ACD≌△BCE，所以∠ADC=∠BEC. 因为A，D，E在同一条直线上，且∠CDE=50°，所以∠ADC=180°-∠CDE=130°. 所以∠BEC=130°. 因为∠BEC=∠CED+∠AEB，所以∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.

变式 如图4，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE.

（1）求证：AD=BE；

（2）若AD=CD，求∠ABE，并探索此时CD与BE的关系.

以纲为领——经典问题反复研

究

原题 如图5，在顶角∠BAC为120°的等腰三角形ABC中，底边BC=2，DE垂直平分AB于点D，则△ACE的周长为（ ）

A. 2+2 B. 2+

C. 4 D. 3

分析 过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C=30°. 于是有AB=AC=2. 根据线段垂直平分线的性质得BE=AE，即可求得△ACE的周长.

解答 如图6，过点A作AF⊥BC于点F，因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，BF=CF=. 所以AB=AC=2. 因为DE垂直平分AB，所以BE=AE. 所以AE+CE=BE+CE=BC=2. 所以△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，选A.

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力.

变式 如图7，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（ ）

A. AC>BC B. AC=BC

C. ∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC

分析 根据等腰三角形的两个底角相等，由AD=BD得∠A=∠ABD. 所以∠ABC>∠A. 则可对C，D选项进行判断；根据大角对大边可对A，B进行判断.

解答 因为AD=BD，所以∠A=∠ABD. 所以∠ABC>∠A，所以选项C和选项D错误. 因为∠ABC>∠A，所以AC>BC. 所以选项A正确；选项B错误.

点评 本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等. 本题还考查了三角形中大角对大边.

这样的课，看似容量不大，但对学生思维的训练却十分到位. 轴对称复习课作为一种经典的常态复习课，从四个“一”可以高度概括出学习轴对称的经典方法. 当然，教无定法、贵在得法！虽然复习课的模式是根据教学内容而确定的，不能一概而论，但是教师心里装着孩子，带着“新授课”的感觉，结合复习课的特点，从不同的角度切入，呈现思维的丰富多彩，就能使复习课教学之“路”走得更加精心、精彩（把握每一个知识点，所有可能考查的题型，细且实，基于中考必考，在看似会做、一做就错处选题、练题，在师生合作讲题中寻找复习课的出路），有“根”可依（复习课的内容永远是基础），有“据”可循（真正实现思维在碰撞中激发），让点、线、面纵横交错，编织成网，真正有效地促成复习课的质量. 只有这样，复习的效果才能真正落到实处.

敢问复习课的路在何方？四个“一”的复习思路指明了方向：复习过程中，牢牢抓住生情和学情，注意知识点之间的综合联系，连点成线、线连成面，形成系统的复习和训练内容，在主体“试问试讲”的充分参与中自我搭建所学的知识树. 当复习处于尾声，教师引导学生概括一类问题的解决模式，于通式通法处再次强化方法，渗透数学思想，这是复习课能否达到目的的不二法门.