略论电偶极线

赵　强（西安交通大学理学院，陕西西安 710049）

教学经验交流

略论电偶极线

赵强
（西安交通大学理学院，陕西西安 710049）

本文首先仿照电偶极子模型的定义给出了电偶极线模型的定义，然后导出了电偶极线的电势公式和电场公式，最后利用电偶极线模型求出了沿垂直于轴方向均匀极化的长圆柱体周围的电场.

电偶极线；线极化强度；等效；精确解

任何一本《电磁学》教科书都会讲述电偶极子模型，有些教材还讲述了电偶极层模型［1］，但是我却没见过哪本《电磁学》教材讲述电偶极线模型.其实电偶极线模型和电偶极子模型很类似，并且还有着实际的应用.什么是电偶极线呢？下面就来讨论这个问题.

两条均匀带电的无穷长平行直线，电荷的线密度分别为±λ，相距为l，当所研究的场点A到两直线的距离远大于l时，这种带电体系叫做电偶极线模型.图1为电偶极线模型的横截面图.若选择两直线间距离连线的中垂面作为零势能面的话，则电偶极线在空间任一点A处的电势为

式（1）不仅形式十分简单，而且还是精确解.根据电偶极线模型的定义，场点A总是离两条带电平行直线很远，即r≫l，因此有

代入式（1）后，有

图1　电偶极线模型的横截面

利用公式ln（1+x）～x（x≪1），可将上式简化为

式（3）中因子λl是一个反映电偶极线特征的物理量，其物理意义是单位长度的电偶极矩，因此可将其称为线极化强度.让人感到有点惊讶的是其单位竞是库仑.若用符号Pl表示线极化强度，有

也可将式（4）写成矢量形式

将式（4）代入式（3），有

式（5）比式（1）更简单.虽然式（5）是一个近似解，但是式（5）才是电偶极线模型真正实用意义上的电势.

为了求出电偶极线模型周围的电场，以图1中的O点为原点建立柱坐标系，其中z轴垂直于纸面向外，电场的3个分量分别为

从式（6）可以看出，电偶极线的电场与电偶极子的电场有些类似，不同的是电偶极线的电场是柱形对称的，其场强E与距离r的平方成反比.下面通过一实例来看电偶极线模型在实际中的应用.

例 有一半径为R的均匀极化的圆柱形长棒，其极化方向与圆柱的轴垂直，极化强度为P.试求此圆柱体外部空间的电场.

解 图2为均匀极化圆柱形长棒的截面图，此问题的一般解法是求解静电场的拉普拉斯方程，但是这对于没有学过电动力学课程的学生来说是困难的.然而利用电偶极线的模型，用普通物理的方法就可以方便地解决此问题.

根据E.M.珀塞尔的观点［2］，一个均匀极化的长圆柱体，可以等效为两个完全重叠在一起的、分别均匀带有体电荷密度为±p的长圆柱体沿极化方向拉开一小段距离l后形成的一个新圆柱体（由于l可看做无限小，因此新体系仍是圆柱体）.拉开距离l后的两圆柱体分别等效于位于其轴线的两根均匀带有线电荷密度分别为±λ的平行直线，而整个系统正好等效为一电偶极线模型！其外部电场当然就是式（6）.然而令人感到惊讶的是式（6）虽是电偶极线模型的近似解，但却是本例的精确解.线极化强度Pl和极化强度P的关系为

图2　均匀极化的圆柱形长棒的截面

将式（7）代入式（6），得到最后结果为

最后的结果相当简洁漂亮！而且是精确解！

［1］ 赵凯华，陈熙谋.电磁学.新概念物理教程［M］.北京：高等教育出版社，2003：42-43.

［2］ E.M.珀塞尔.电磁学.伯克利物理学教程［M］.第二卷.南开大学物理系，译.北京：科学出版社，1979：400-402.

A BRIEF DISCUSSION ON ELECTRIC DIPOLELINE

Zhao Qiang
（College of Science，Xi，an Jiaotong University，Xi，an，Shanxi 710049）

In this paper，we firstly gave the definition of electric dipole line model followed the definition of electric dipole model.Then we derived the electric potential formula and electric field formula of electric dipole line.At last，we solved the electric field around the uniform polarized long cylinder along the perpendicular direction to the axis using the electric dipole line model.

electric dipole line；linear polarization intensity；equivalent；exact solution

2015-06-05