一类非自治广义Birkhoff系统的稳定性和分岔

曹秋鹏　陈向炜

1. 苏州科技大学数理学院, 苏州 215009; 2. 商丘师范学院物理与电气信息学院, 商丘 476000;† 通信作者, E-mail: hnchenxw@163.com



一类非自治广义Birkhoff系统的稳定性和分岔

曹秋鹏1陈向炜2，†

1. 苏州科技大学数理学院, 苏州 215009; 2. 商丘师范学院物理与电气信息学院, 商丘 476000;† 通信作者, E-mail: hnchenxw@163.com

研究一类非自治广义Birkhoff系统的分岔。将该系统转化为梯度系统, 利用梯度系统的性质研究这一类系统平衡点的稳定性。研究表明, 当系统含有某个参数时, 系统平衡点的数目和稳定性将会随参数的变化而发生改变, 从而产生分岔现象。

广义Birkhoff系统; 梯度系统; 分岔

北京大学学报（自然科学版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

1927 年, Birkhoff[1]在《Dynamical systems》(动力系统)一书中给出一类新型的积分变分原理和运动微分方程, Santilli[2]称之为Pfaff-Birkhoff原理和Birkhoff方程。Birkhoff系统动力学是Hamilton力学的自然推广。近年来, 对Birkhoff系统动力学的研究非常活跃, 取得一些重要进展, 主要集中在Birkhoff系统的积分理论[3]、逆问题[4]、稳定性[5]和对称性[6]等方面。1993 年, 梅凤翔[7]研究了 Birkhoff 方程增加一个附加项的情形, 称为广义 Birkhoff方程。广义Birkhoff系统动力学也取得丰富的研究成果, 同样集中在广义Birkhoff系统的逆问题[8]、积分理论[9]、对称性[10]、稳定性[11]等方面,但很少涉及系统分岔的问题。开展广义Birkhoff系统的分岔研究, 可将非线性动力学相关理论推广应用到广义Birkhoff系统, 探讨该系统的动力学行为,进一步完善 Birkhoff 系统的理论体系。因此, 对广义Birkhoff系统分岔问题的研究有重要意义。

非线性动力学的分岔是动力系统的重要性质,是流体力学、电力学、非线性振动理论、控制理论、生态学等领域研究的重点内容[12-14]。2000年,陈向炜等[15-16]首次研究Birkhoff系统的分岔问题,分析了二阶自治Birkhoff系统的极限点分岔、跨临界分岔以及叉形分岔。梅凤翔[17]研究了二阶自治广义Birkhoff系统平衡点分岔的相关问题, 也讨论了系统的极限点分岔、跨临界分岔以及叉形分岔。但是, 这些研究仅针对自治 Birkhoff 系统, 未涉及非自治情形。

梯度系统是一类重要的动力学系统[18], 在研究运动稳定性问题时具有很好的应用价值。一旦动力学系统能够转化成梯度系统, 便可以借助梯度系统的性质研究动力学系统的稳定性。文献[19-23]研究了各类力学系统的梯度表示, 利用梯度系统的性质分析了这些系统的平衡稳定性。Mei等[24]利用梯度系统的性质, 研究了自治广义 Birkhoff 系统的分岔。

在上述研究的基础上, 本文利用梯度系统的性质, 进一步研究含参数非自治广义Birkhoff系统的稳定性和分岔。研究表明, 当系统所含的某个参数发生变化时, 系统平衡点的数目和稳定性将会随参数的变化而发生改变, 从而产生分岔现象。

1　广义Birkhoff系统

广义Birkhoff 系统的运动微分方程[17]为

可以写成如下形式:

其中,

为 Birkhoff 协变张量,μνΩ为 Birkhoff 逆变张量,它们之间有关系:

2　梯度系统

梯度系统的微分方程有以下形式[17]:

其中, V=V(x)称为势函数。

梯度系统有以下两个重要性质。

性质 1对于系统(4)所有的x, 都有0V≤˙, 当且仅当x为系统的平衡点时, 0V=˙。

性质 2对于系统(4)的线性化系统, 在任意平衡点处其特征方程只有实根。

由Lyapunov 一次近似理论可得如下命题。

命题 1如果梯度系统(4)的一次近似特征方程的根皆为负数, 则平衡位置是渐近稳定的; 如果有正根, 则平衡位置是不稳定的; 如果存在单根 0 且无正根, 则平衡位置是稳定的, 但不是渐近稳定的;如果存在重根0, 则平衡位置是不稳定的。

3　系统的梯度表示

一般情况下, 非自治广义Birkhoff系统(1)并不是梯度系统。如果系统(1)满足

同时有

此时, 方程(1)可以找到势函数V=V(a), 使得

这样, 非自治广义 Birkhoff 系统(1)便成为一个梯度系统。于是, 我们利用梯度系统的性质研究该系统的分岔。

4　系统平衡点的静态分岔

假设非自治广义Birkhoff系统(1)的Birkhoff函数 B, Birkhoff函数组Rv或附加项νΛ含有某一个常参数μ, 则可以将非自治广义Birkhoff系统(1)写成如下形式:

其中,

且等式右端满足式(6)。

对于研究内容 1, 若非自治广义Birkhoff系统(8)能够成为一个梯度系统, 那么平衡点的稳定性由命题1判定, 随着参数μ的变化, 梯度系统的一次近似特征方程的根的正负性可能发生变化。

对于研究内容 2, 当 F(a, μ)=0 的解是一些曲线时, 分岔点是某两条解曲线的交点。下面给出系统(8)发生研究内容 2 情况的一个必要条件。

定理1对于系统(8), 设点(a0, μ0)处有 F(a0, μ0)=0, 在(a0, μ0)的邻域内 F(a, μ)对 a 可微, 且F(a, μ)和DF(a, μ)对a, μ 连续。假如(a0, μ0)是F(a, μ)=0的一个分岔点, 则|DF(a0, μ0)|=0。其中DF(a, μ)表示F(a, μ)关于a的Jacobian矩阵。

证明: 假设|DF(a0, μ0)|≠0, 那么由隐函数定理,可以得到当|μ-μ0|<<1时, F(a, μ)=0唯一地确定了一条解曲线 a =a(μ), 使得a0=a(μ0)。此时, (a, μ0) 不能成为分岔点与(a0, μ0) 是分岔点矛盾。定理 1 得证。

下面利用两个算例, 分别从系统(8)的平衡点稳定性的变化和平衡点个数的变化, 说明系统(8)的静态分岔。

5　算例

例1非自治广义Birkhoff系统:

其中μ是参数。

下面, 试写出该系统的运动微分方程, 并分析μ对系统平衡位置稳定性的影响。

由方程(8), 得到系统的微分方程:

显然这是一个梯度系统。此时系统的一次近似特征方程为

当1μ＞时, 方程(11)有两个负实根, 此时平衡位置是渐近稳定的; 当1μ=时, 方程(11)有一个根是 0,一个根是-2, 此时平衡位置是稳定的; 当1μ＜时,方程(11)两个根一正一负, 此时平衡位置是不稳定的。因此, 当1μ=时, 系统发生分岔, 1μ=是系统的分岔值。

例2非自治广义Birkhoff系统:

其中μ是参数。

下面, 试写出该系统的运动微分方程, 并分析μ 对系统平衡位置稳定性的影响。

由方程(8)得到系统的微分方程:

显然, 方程(12)满足式(5)和(6), 是一个梯度系统。系统(12)的平衡点个数与参数μ的取值有关。

对于任意的μ, (0, μ)总是方程(12)的解, 且

由定理 1 可知, 点(,0)0可能成为系统(12)的分岔点。下面具体分析分岔情况。

当0μ=时, 方程(12)有一个平衡点(0, 0), 方程(12)在(0, 0)点处的一次近似特征方程为

此方程有根0λ=和1λ=-, 由命题1可知此时平衡点是稳定的, 但不是渐近稳定的。

1) 平衡点（）0,0处的一次近似特征方程为

此方程有根λ=-μ2和λ=-1, 由命题1可知此平衡点是渐近稳定的。

2) 我们对平衡点(μ, 0)做如下处理: 令

则方程(12)变成

同样, 此平衡点是渐近稳定的。

那么方程(12)变成

处的一次近似特征方程为

由命题1可知此平衡点是不稳定的。

我们发现, 含有参数μ的系统(12), 当0μ=时,平衡点只有1个, 当0μ≠时, 平衡点有3个, 平衡点的个数发生了改变, 并且对于同一平衡点(0, 0),两种情况下其稳定性并不相同。因此, (0, 0)成为系统(12)的分岔点, 0μ=是该系统的分岔值。

6　结论

本文把利用梯度系统研究稳定性的方法推广应用到一类非自治广义 Birkhoff 系统, 该系统在满足条件(5)和(6)情况下就可转化为一个梯度系统, 于是可以利用梯度系统的性质研究这类非自治广义Birkhoff 系统的稳定性和分岔。本文的例子说明,随着参数的变化, 系统平衡位置的稳定性以及平衡点的个数会随之变化, 系统发生分岔。当然, 这里的分岔指系统平衡点处的静态分岔。

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Stability and Bifurcation for a Type of Non-autonomous Generalized Birkhoffian Systems

CAO Qiupeng1， CHEN Xiangwei2，†

1. School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009; 2. Department of Physics and Information Engineering, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000; † Corresponding author, E-mail: hnchenxw@163.com

Bifurcation for a type of non-autonomous generalized Birkhoffian systems is studied. Gradient representations for this type of non-autonomous generalized Birkhoffian systems are given. The stability of equilibrium point of these systems is discussed by the characteristic of the gradient system. Further the systems which contain some parameter are studied. The stability and the number of equilibrium point will change along with the change of the parameter to produce the bifurcation phenomenon.

generalized Birkhoffian system; gradient system; bifurcation

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.067

国家自然科学基金(11372169)和苏州科技大学研究生科研创新计划(SKCX14_056)资助

2015-10-08;

2016-02-05; 网络出版日期: 2016-07-14