正规化子较小的有限p群

赵立博

(广东第二师范学院 数学系, 广东 广州 510303)



正规化子较小的有限p群

赵立博

(广东第二师范学院 数学系, 广东 广州 510303)

摘要:对满足条件“对任意非正规的循环子群H,都有NG(H)/H循环”的有限p群G进行研究，当p>2时，给出此类群的完全分类；当p=2时，列举一些群例.

关键词:有限p群；正规化子；亚循环p群；极大类3群

0引言

设G为有限p群.若H是G的真子群，则H是其正规化子的真子群.换句话说，即|NG(H)/H|≥p. 若H◁G，则NG(H)=G，即|NG(H)/H|=|G/H|. 若H为非正规子群，则p≤|NG(H)/H|<|G/H|.很自然地，就有下面的问题:

设G为有限p群，对G的任意非正规子群，有|NG(H)/H|=p，则G结构如何？

上述问题是由Berkovich在文[1]的问题116中提出.文[2-3]完全分类了满足上述条件的有限p群.接着就有下面的问题：

设G为有限p群，对G中所有非正规循环子群H，有|NG(H)/H|≤p2，则G结构如何？

文[4]对此类群进行了研究，并给出了奇数阶群的分类.

以上都是从NG(H)/H的阶的角度描述较小的正规化子，本文主要从NG(H)/H的生成元的角度考虑较小的正规化子，即研究满足下面条件(*)的有限p群.

条件(*)： 对任意非正规的循环子群H,都有NG(H)/H循环.

当p>2时，给出了满足条件(*)的有限p群的完全分类.当p=2时，情况比较复杂，我们将在另外一篇文章中详细讨论，在此只给出一些群例.

1预备知识

首先介绍本文涉及到的概念以及记号.

称有限p群G为内交换群，若G本身不交换，但其真子群都交换.

令G为pn阶群,n≥3.称群G为极大类p群，如果G的幂零类等于n-1. 假定n≥4,令G>G′=G2>G3>…>Gn=1为G的下中心群群列。对于i=2,3,…,n-2，称CG(Gi/Gi+2)为G的二步中心化子群,并令G1=CG(G2/G4).

设G为有限p群，d(G)表示G的生成元个数；令rank(G)=max{logp|E||E≤G,E初等交换}，称之为G的秩；令rn(G)=max{logp|E||E初等交换且为G的正规子群}，称之为G的正规秩.

下面罗列出本文论证过程中用到的一些结论.

引理1[5]69设G为有限p群，则下列命题等价：

(i)G为内交换群；

(ii)d(G)=2且|G′|=p；

(iii)d(G)=2且Z(G)=Φ(G).

引理2[5]70设G为内交换p群，则G为下列群之一：

(i)Q8；

(ii)Mp(n,m)∶=,n≥2,m≥1;

(iii)Mp(n,m,1)∶=,

其中n≥m≥1.

引理3[5]74设G为极大类p群，且|G|=pn.若p>2且n>3，则G没有p2阶的非循环正规子群.

引理4[5]231设G是阶为3n(其中n≥5)极大类3群，则它的二步中心化子群G1是交换群或者是亚循环的内交换群.

引理5[6]设G是阶为pn(其中n≥5)极大类p群且p>2.若rn(G)=2，则G为下列群之一：

(i)亚循环群；

(ii)G≅Mp(1,1,1)*Cpn-2；

(iii)阶大于34的极大类3群；

(iv)G=,i=1或某一固定的模p平方非剩余.

2满足条件(*)的有限p群

我们首先对亚循环群和内交换进行研究，得到以下两个命题：

命题1设G为亚循环p群，p>2.若G满足条件(*)，则G为交换群或内交换群.

证明因为G为亚循环p群，p>2，所以G正则.若G非交换，则可设G=，且∩=1.下面分两种情形讨论.

命题2设G为内交换p群.则G满足条件(*)当且仅当G为Mp(m,n)或者Mp(1,1,1).

证明充分性：Mp(1,1,1)阶为p3，显然满足条件(*)；若G≅Mp(n,m)，对任意非正规子群，因Z(G)=Φ(G)，所以x∉Φ(G)且NG()=◁G.Φ(NG())≤Φ(G)，从而x∉Φ(NG()).又因为G亚循环，所以NG()亚循环.这样就得到NG()/循环.

必要性：由引理2知G只有三种类型.若G不同构于Mp(m,n)，则G≅Mp(n,m,1)或Q8. 当G≅Q8时，因Q8≅M2(1,1,1)，命题显然成立.若G≅Mp(n,m,1)=时， 因为不正规，由条件(*)得NG()/循环.又易知≤NG()，所以/循环.于是有bp=1.同理可得ap=1.这样就得到G≅Mp(1,1,1).证毕.

下面我们研究一般的有限p群.

命题3设G满足条件(*)，M≤G，则M也满足条件(*).

证明对任意x∈M，若在M中不正规，则在G中不正规.由条件(*)，知NG()/循环.而NM()=NG()∩M，所以NM()/循环.证毕.

命题4设G为有限p群，若G满足条件(*)，则rank(G)≤2或者G为Dedekind群.

对任意的g∈G，有是交换群.若在G中不正规，由(*)知NG()/循环.又≤NG()，从而有

H/∩H≅/≤NG()/，

这样就得到H/∩H循环，于是H极小生成元个数最多为2，矛盾.所以◁G.进而G为Dedekind群.证毕.

3主要结果

由引理5，我们得到本文的主要结果：

定理1设G为非交换有限p群(其中p>2).若G满足条件(*)，则G为下列群之一：

(i)Mp(1,1,1)；

(ii)Mp(n,m)，n≥2,m≥1；

(iii)G=,n≥4,i=1或某一固定的模p平方非剩余；

(iv)Mp(1,1,1)*Cpn-2；

(v).

证明当|G|=p3，易知所有的非交换子群都满足条件(*). 当|G|=p4时，因为p2阶非正规的循环子群的正规化子只能是p3的子群，所以只需考虑G中p阶非正规子群.若H是p阶非正规子群，则NG(H)/H循环.检验文献[5]82页中的群，易知定理1成立.

当|G|>p4时，由命题4知，rank(G)=1或G为引理5中的群. 若rank(G)=1，则由[5] 66页知G为循环群，与条件矛盾. 下面对引理5中的4类群进行检验.

若G为引理5中的(i)群，即亚循环群，由命题1、命题2知定理成立.

若G为引理5中的(ii)群，即G=对任意g∈G, 若在G中不正规，则g∉≤Z(G).≤NG()是极大子群，从而NG()=.这样就有NG()/=>循环.即得(ii)群满足条件(*).

定理1给出了p>2时，满足条件(*)的有限p群的分类. 当p=2时，满足条件的群类较多，结构比较复杂,我们将在另外一篇文章详细讨论. 事实上，当p=2时，可类似的证明，定理1中的(i),(iii)，(iv)类群，也是满足条件(*)的.下面我们给出另外两类满足条件(*)的2群例.

例1G=满足条件(*).

证明易知Z(G)=在G中的指数为p2，从而G满足条件(*).证毕.

例2极大类2群满足条件(*).

证明设G为极小阶反例.对任意不正规循环子群，存在极大子群M，满足NG()charM◁G，即◁G，矛盾.所以M只能是极大类2群.若◁M，则存在i使得=Mi.又Mi循环，从而charMicharM◁G，即得◁G，矛盾.所以在M中不正规.由极小阶反例及命题3知NM()/循环.又NM()=NG()∩M=NG()，于是有NG()/循环.这样就得到G满足条件(*)，与G为极小阶反例矛盾.证毕.

参考文献：

[1] BERKOVICH Y. Groups of prime power order, volume I[M]. Berlin: Walter De Gruyter,2008: 446-447.[2] ZHANG Q H, GAO J. Normalizer of non-normal subgroup of finitep-groups[J]. J Korean Math Soc，2012,49(1):201-221.

[3] LI X H,ZHANG J Q. Finitep-groups with non-normal subgroups of indexpin their normalizers[J]. Communications in Algebra, 2011, 39(6):2037-2043.

[4] ZHANG X,GUO X. Finitep-groups whose non-normal cyclic subgroups have small index in their normalizers[J]. J Group Theory, 2012,15: 641-659.

[5] 徐明曜，曲海鹏.有限p群[M]. 北京: 北京大学出版社，2010.

[6] BLACKBURN N. Generalizations of certain elementary theorems onp-groups[J]. Proc London Math Soc,1961, 11: 142-143.

收稿日期：2016-02-02

基金项目：广东第二师范学院教授博士科研专项经费资助项目：2013ARF07.

作者简介：赵立博，女，河北邢台人，广东第二师范学院数学系助教.

中图分类号：O 152.2

文献标识码：A

文章编号：2095-3798(2016)03-0044-04

Finite p-groups with Small Normalizers

ZHAO Li-bo

(Department of Mathematics, Guangdong University of Education, Guangzhou,Guangdong, 510303, P. R. China)

Abstract:In this paper, we classify finite p-groups G such that NG(H)/H is cyclic for all non-normal cyclic subgroup H when p>2. If p=2, then we give some examples.

Key words:finite p-group; normalizer; meta-cyclic p-group; 3-group of maximal class