方法归纳，助力数学学习——圆中阴影面积的求解

刘梦莲（江苏省常州市武进区湖塘实验中学）

方法归纳，助力数学学习
——圆中阴影面积的求解

刘梦莲
（江苏省常州市武进区湖塘实验中学）

最近几年，全国各地的中考数学试卷，总会出现大量的求解圆中的阴影部分面积，是中考试题的重要内容之一.这些题目除了考查基础知识外，还可以考查学生数学思想和方法的理解与掌握.下面通过一些实例对各类解法做一个归纳说明.

一、面积公式直接求

例1.（2015·恩施州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，则阴影部分的面积为（）

解析：由∠CDB=30°，可以得出∠COB=60°，进而得到∠COA= 120°，由，可以知道，由30°所对的直角边等于斜边的一半，利用勾股定理可以求得圆的半径OC=4，利用扇形面积公式得

答案选D.

提示：对于此类题目，只需要求出圆的半径和圆心角，就可以利用扇形面积公式进行求解.此类题目还有（2009·河南模拟）如图，从一个边长为2的菱形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形.

（1）求这个扇形的面积（结果保留π）.

二、作差法

例2.（2015·重庆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB= 90°.以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是__________.（结果保留π）

解析：对于此类阴影部分，由于是不规则的图形，求此类面积需要转化为规则图形来进行求解.

这道题可以用S阴影=S△ABC-S扇形CAD

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°

又∵AC2+BC2=AB2

∴AC=BC=4

S阴影=S△ABC-S扇形CAD

=8-2π

答案为8-2π.

提示：此类题目占了圆中求阴影部分面积的很大一部分，题目简单易求，关键是转化和计算.此类题目在2015年的中考题中占比例较大.如2015年兰州卷，2015年四川绵阳卷，2015年无锡卷，2015年新疆卷出现的阴影部分面积都可以用此类方法.

三、割补法

例3.（2015·河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为 OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D.若OA=2，则阴影部分的面积为______.

解析：对于此题，阴影部分是不规则图形，通过补扇形COD的方法，也会发现四边形OCEB不是规则的图形，故可以通过分割的方法转化为规则图形，如下图.

∴S阴影=S△OCE+S扇形OBE-S扇形OCD

∵CE⊥OA∠OCE=90°

∴点C为OA的中点，OA=2

∴OC=1

在△OCE中，∠OCE=90°，OC2+CE2=OE2

∴∠COE=60°∴∠BOE=30°

S阴影=S△OCE+S扇形OBE-S扇形OCD

提示：通过借助辅助线，把不规则的图形割补成规则图形，进而转化为熟悉的图形面积求解是此类题的基本方法，在2015年遵义同样出现了此类题，可以仿照做出.

四、对称法

例4.（2015·自贡）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，则阴影部分图形的面积为（）

解析：本题的阴影部分为一个三角形和一个不规则的图形，对于三角形的面积易于求解，但对于不规则的面积则不利于求解，故不能直接来做.由于圆的对称性，我们可以把图1变成图2的形式.由对称明显易于观察S△OCE=S△ODE

由∠CDB=30°可以得出∠COB=60°，进而得出∠DOB=60°，再用扇形面积公式可求.

半径的求解在前面已经讲解，此处不再多说.

答案选D.

提示：对于这类题，只要观察出图形的规律，就能很容易地转化为特殊图形进行求解面积.2015年湖北襄阳一道填空题的求解阴影部分面积也可以用此类方法.

对于圆中的求解阴影部分面积还有很多方法，比如代数法、特殊位置法、等积法等，这里就不再一一叙述，同学们可以下列题目来进行练笔.

1.（2015·新疆）如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°.若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（）

1题图

2题图

2.（2015·湖北襄阳）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠P=60°，则图中阴影部分的面积为.

3.（2015·遵义）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为________cm2.

3题图　

4题图

4.（2015·重庆B卷）如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______

（结果保留π）.

5.设计一个商标图案（如图所示），在△ABC中，AB=AC=2cm，，以A为圆心，AB为半径作弧CEB，以BC为直径作半圆CFB，则阴影部分面积为多少？

5题图　

6题图

6.如图，半圆的直径AB=40，C、D是这个半圆的三等分点，求弦AC、AD和弧CD围成的图形（阴影部分）的面积S.

·编辑鲁翠红