半群ΟCΚn的极大子半群

金久林,游泰杰

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院,贵州 贵阳　550001)



半群ΟCΚn的极大子半群

金久林,游泰杰

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院,贵州 贵阳550001)

摘要：设自然数n≥5,Xn={1,2,…,n}并赋予自然数序, On是Xn上的保序变换半群, OCKn是由On中核具有连续横截面的元所构成的子半群, 得到了OCKn的极大子半群的结构与完全分类。

关键词：变换半群; 保序; 连续横截面; 极大子半群

0引言

设Xn={1,2,…,n}(n≥5)并赋予自然数序,Singn是Xn上的奇异变换半群。设α∈Singn, 若对任意x,y∈Xn,x≤y⟹xα≤yα, 则称α是保序的, Xn上保序全变换(不含双射)的集合记作On,它是Singn的正则子半群。2010年, 徐波在文献[1]中提出了保序压缩变换半群, 并得到了它的秩;现在, 对保序压缩变换半群的研究, 已经取得了许多成果(譬如文献[1-6])。最近, 高荣海在文献[7]中提出了与保序压缩变换半群具有某种“对偶性”的变换所构成的半群, 即核具有连续横截面的保序变换, 由Xn上核具有连续横截面的保序变换构成的子半群, 记作OCKn，这是On的一类新的子半群。变换半群的具有某种性质的极大子半群的研究一直都是半群理论研究中的热点之一[8-14]。本文将在文献[7]基础上考虑OCKn的极大子半群, 得到了它的极大子半群的完全分类。

1准备

设α∈OCKn, 用im α表示α的象集,kerα表示Xn上的等价关系{(x,y)∈ Xn×Xn:xα=yα}。

为叙述上方便, 在OCKn上引入下面的二元关系, 对任意α,β∈OCKn, 定义：

αL*β⟺imα=imβ

αR*β⟺kerα=kerβ

αJ*β⟺|imα|=|imβ|

则L*,R*,J*都是OCKn上的等价关系, 易见L*⊆J*,R*⊆J*。 对1≤r≤n-1, 记

为了方便, 对任意k∈Xn令

定义设S是半群ΟCΚn的真子半群, 若S满足：对任意α∈ΟCΚnS, 有

〈S∪{α}〉=OCKn

则称S是ΟCΚn的极大子半群。

2主要结果及证明

定理设自然数n≥5, 则ΟCΚn的极大子半群有且只有如下形式：

为了定理的证明, 需引入以下引理：

证明可参见文献[7]引理5。

证明可参见文献[7]推论1。

假设α2=η1η2, 其中η1,η2∈Aα, 同理可推出矛盾, 因此, Aα是ΟCΚn的子半群, 下证Aα的极大性。

对任意α∈{α1,α2}, 不失一般性, 设α=α1,取β2∈Aα, 则α2=αβ2∈〈Aα∪{α}〉, 从而〈Aα∪{α}〉=OCKn。 故Aα是ΟCΚn的极大子半群。

证明类似于引理3。

进而得到, 〈Bi∪{α}〉=OCKn。 因此,Bi是ΟCΚn的极大子半群。

定理的证明由引理3,4,5可知, AT,Bi是OCKn的极大子半群。

用反证法证明OCKn的极大子半群仅有定理中的形式。 假设S是OCKn的极大子半群, 但不是定理中的形式, 则对任意1≤m≤n, 有

S∩{α1,α2}≠φ且S∩{βn-1,βn}≠φ;

因此, OCKn的极大子半群仅有定理中的形式。

参考文献：

[1] 徐波,冯荣权,高荣海.一类变换半群的秩[J].数学的实践与认识,2010,40(8):222-224.

[2] 高荣海，徐波.关于保序压缩奇异变换半群的秩[J].山东大学学报(理学版),2011,46(6):4-7.

[3] 徐波.正则保序压缩变换半群的秩[J].贵州师范大学学报(自然科学版),2012,30(3):52-54.

[4] 赵平,游泰杰,徐波.半群CPOn的秩[J].西南大学学报(自然科学版),2011,33(6):106-110.

[5] 徐波.保序压缩变换半群的极大子半群[J].贵州师范大学学报(自然科学版),2012,30(4):63-65.

[6] 高荣海,喻秉钧.保序压缩变换半群的理想的极大子半群[J].四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(5):643-648 .

[7] 高荣海,徐波.核具有连续横截面的保序变换半群的秩.[J].西南师范大学学报(自然科学版),2013,38(4):18-24.

[8] YANG Xiuliang.Maximal Subsemigroups of the Finite Singular Transformation Semigroup[J].Communications in Algebra,2001,29(3):1175-1182.

[9] YOU Taijie.Maximal Regular Subsemigroup of Certain Semigroup of Transformation[J].Semigroup Forum,2002,64：391-396.

[10]YANG Haobo,YANG Xiu-liang.Maximal Subsemigroups of Finite Transformation Semigroups K(n,r)[J].Acta Mathematica Sinica,2004,20(3):475-482.

[11]ZHAO Ping.Maximal Regular Subsemibands of SOPn[J].Semigroup Forum,2010,80(3):477-483.

[12]徐波.保序压缩变换半群的极大子半群[J].贵州师范大学学报(自然科学版),2012,30(4):63-65.

[13]高荣海,喻秉钧.保序压缩变换半群的理想的极大子半群[J].四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(5):643-648.

[14]赵颐,游泰杰,陈云坤.半群POPn的理想的极大正则子半群[J].东北师大学报(自然科学版),2015,47(2):31-34.

文章编号：1004—5570(2016)03-0064-03

收稿日期：2016-03-25

作者简介：金久林(1991-),男,硕士研究生,研究方向:半群及编码理论,E-mail:1358724098@qq.com.

中图分类号：O152.7

文献标识码：A

The maximal subsemigroups of the semigroup OCKn

JIN Jiulin,YOU Taijie

(School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

Abstract:Suppose n≥5,Xn={1,2,…,n}, and it has the order of natural numbers, On be semigroup of order-preserving tranformation on Xn, OCKn be semigroup consisting of kernel with continuous transversal in On, the structure and classification of the maximal subsemigroups of semigroup OCKn is obtained.

Key words:transformation semigroup;order-preserving;continuous transversal;maximal subsemigroups