半群Cn,r(k)的秩和幂等元秩

亓顺芹

(贵州师范大学 数学科学学院， 贵州 贵阳 550001)



半群Cn,r(k)的秩和幂等元秩

亓顺芹

(贵州师范大学 数学科学学院， 贵州 贵阳 550001)

变换半群；保序；降序；幂等元秩；秩

0 引言

设[n]={1,2,…,n}并赋予自然数的大小序，Singn是[n]上的奇异变换半群。设α∈Singn，若对任意的x∈[n]，有xα≤x，则称α是降序的；若对任意的x,y∈[n], x≤y⟹xα≤yα，则称α是保序的。设Dn和On分别为Singn中的所有降序变换集和所有保序变换集，则Dn和On是Singn的子半群。设POn=On∪{α:dom(α)⊂[n],(∀x,y∈dom((α))x≤y⟹xα≤yα}是保序部分变换半群(不含[n]上的恒等变换)，PDn=Dn∪{α:dom(α)⊂[n],(∀x,y∈dom((α))xα≤x}是降序部分变换半群(不含[n]上的恒等变换)。记Cn=Dn∩On,PCn=PDn∩POn，则Cn和PCn是POn(或PDn)的子半群，Cn和PCn分别称为降序且保序变换半群和降序且保序部分变换半群。

1 预备知识

对任意的α∈Cn,r(k)(r≥2)，由降序性和保序性易验证α有如下表示法(称为α的标准表示)：

这里：a1

为叙述方便，在Cn,r(k)上引入如下的二元关系：对任意的α，,β∈Cn,r(k)，定义

αL◇β⟺im(α)=im(β)

αR◇β⟺ker(α)=ker(β)

则L◇,R◇与J◇都是Cn,r(k)上的等价关系。易见L◇⊆J◇,R◇⊆J◇，对于1≤m≤r≤n-1，记

设A是[n]的子集，C是A的子集，如果C满足：x,y∈C,z∈A,且x≤z≤y⟹z∈C，则称C是A上的凸子集。

设S是Cn,r(k)的子集，通常用E(S)表示S中所有幂等元组成的集合。本文未定义的术语及符号请参见文献[10]。

2 主要结果及其证明

定理1 设1≤r≤n-1,2≤k≤n，则

引理1 设α∈Cn,r(k)，则α是幂等元的充要条件是对任意的t∈im(α)，有

t=min{x:x∈tα-1}。

证明 由于α∈Cn(k)是幂等元的充要条件是对任意的t∈im(α)，有t∈tα-1，故α∈Cn,r(k)是幂等元的充要条件是对任意的t∈im(α)，有t=min{x:x∈tα-1}(因此由t∈tα-1且x∈tα-1可推出t=tα=xα≤x)。

证明 任取

显然kε=k。其中：1=a1maxAi,i=1,2,…,s-1。下面分两种情形来证明：

证明 任取

其中1=a1

xγ=v0,(x∈[v0,max(v0α-1)])

xγ=xα,(x∈[[n]v0,max(v0α-1)])

则β,γ是Cn,r(k)的幂等元，于是

Aiβγ=ciγ=v0=Aiα,(x∈[v0,max(v0α-1)])

Aiβγ=ciγ=ai=Aiα,(x∈[[n]v0,max(v0α-1)])

引理4 设α,β∈Cn,r(k)，若(α,β)∈J◇,(α,αβ)∈J◇，则(αβ,β)∈L◇，(α,αβ)∈R◇。

证明 对任意的α,β∈Cn,r(k)，若(α,β)∈J◇,(α,αβ)∈J◇，则

定理1的证明：

[1] GOMES G M S,HOWIE J M.On the ranks of certain semigroups of order-preserving Transformations[J].Semigroup Forum,1992(45):272-282.

[2] GARBA G U.On the Idempotent Ranks of Certain Semigroups of Order-Preserving ransformations[J].Portugal Math,1994,51:185-204.

[3] HIGGINS P M.Idempotent Depth in Semigroups of Order-Preserving Mappings [J].Proc Roy Soc Edinburgh Sec A,1994,124(5):1045-1058.

[4] LARADJI A,UMAR A.On Certain Finite Semigroups of Order-Decreasing Transformations I[J].Semigroup Forum,2004,69(2):184-200.

[5] LEVI I.Nilpotent Ranks of Semigroups of Partial Transformations [J].Semigroup Forum,2006,72(3):459-476.

[6] 高荣海,徐波.降序有限部分变换半群的幂等元秩[J].西南大学学报(自然科学版),2008,30(8):9-12.

[7] 徐波,冯荣权,高荣海.一类变换半群的秩[J].数学的实践与认识,2010,40(8):222-224.

[8] 赵平,游泰杰,徐波等.降序且保序有限部分变换半群的幂等元秩[J].山东大学学报(理学版),2011,46(4):75-77.

[9] 赵平,游泰杰,徐波.半群CPOn的秩[J].西南大学学报(自然科学版),2011,33(6):106-110.

[10]HOWIE J M.An Introduction to Semigroup Theory [M].London:Academic Press,1976.

Rank and idempotent rank of the semigroups Cn,r(k)

QI Shunqin

(School of Mathematics Science,Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001，China)

transformation semigroup; order-preserving; order-decreasing; idempotent rank; rank

1004—5570(2016)05-0057-03

2016-05-25

国家自然科学基金项目(批准号11461014)

亓顺芹(1991-)，女，硕士研究生，研究方向：半群理论及编码理论，E-mail:2812889092@qq.com.

O152.5

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