半群SPCn的秩

田应信，游泰杰，赵　平

(1.铜仁职业技术学院信息工程学院，贵州 铜仁 554300；2.贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550001)



半群SPCn的秩

田应信1，游泰杰2，赵平2

(1.铜仁职业技术学院信息工程学院，贵州 铜仁 554300；2.贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550001)

设[n]={1，2，…，n}是正自然数集，Cn和PCn分别为[n]上的保序且降序变换半群和保序且降序部分变换半群. 记SPCn=PCnCn.对n≥5， 证明了半群SPCn的秩为n2-n+1.

变换半群；降序；保序；秩

1　预备知识

设[n]={1，2，…，n}， 并赋予自然序，Singn和Pn是分别为[n]上的奇异变换半群和部分变换半群.设α∈Pn，若对任意x，y∈dom(α)，x≤y⟹xα≤yα， 则称α是保序的. 设POn为Pn中的所有保序部分变换之集(不含[n]上的恒等变换)，则POn是Pn的子半群，称POn为[n]上的保序部分变换半群.设PCn={α∈POn|∀x∈dom(α)，xα≤x}，则PCn是POn的子半群，称PCn为[n]上降序且保序部分变换半群.记On=POn∩Singn，Cn=PCn∩Singn，则On和Cn都是POn的子半群，称On和Cn分别为保序变换半群和保序且降序变换半群.记SPOn=POnOn，SPCn=PCnCn，则SPOn和SPCn都是POn的子半群，称SPOn和SPCn分别为保序严格部分变换半群和降序且保序严格部分变换半群.

设S是V(n，r)的子集. 通常，用E(S)表示S中所有幂等元组成的集合.

2　主要结论及证明

为叙述方便，文献[6]在V(n，r)上引入二元关系：对任意的α，β∈V(n，r)，定义

(α，β)∈L◇⟺im(α)=im(β)；

(α，β)∈R◇⟺dom(α)=dom(β)；

则L◇，R◇和D◇都是V(n，r)上的等价关系，易见L◇∈D◇，R◇∈D◇.对0≤k≤r≤n-1，记

设A，B是[n]的非空子集.若对任意a∈A，b∈B，有a

其中a1

设

引理2.1设1≤i

引理2.2设n≥5，则[n-1，n-1]⊆〈Gn-1〉.

证明注意到

任取α∈[n-1，n-1]，存在1≤i≤j≤n，使得α=λ(i，j).若i=j，则α=λ(i，i)∈H◇(i，i)⊆Gn-1⊆〈Gn-1〉.注意到H◇(i，i+1)={λ(i，i+1)}且H◇(i，i+1)⊆Gn-1，若i

λ(i，i+1)λ(i+1，i+2)…λ(j-1，j)=λ(i，j)=α，

从而α∈〈Gn-1〉.再由α的任意性可得[n-1，n-1]⊆〈Gn-1〉.

引理2.3设n≥5，则E([n-2，n-2])⊆〈E([n-1，n-1])〉.

证明设δi，j(i≠j)是[n]{i，j}上的恒等映射，则由半群SPCn的保序性可知

任取α∈E([n-2，n-2])，则存在i≠j使得α=δi，j. 注意到λ(i，i)，λ(j，j)∈E([n-1，n-1])(由注2.1可知)，易验证δi，j=λ(i，i)λ(j，j)，从而α=δi，j∈〈E([n-1，n-1])〉. 由α的任意性可得E([n-2，n-2])⊆〈E([n-1，n-1])〉.

证明类似文献[6]中的定理2的证明过程.

dom(α)=[n]{k}，Aiα=ai，1≤i≤r，1≤k≤r;

xα=x，x∈dom(α)(A1∪A2∪…∪Ar).

考虑[n-1，n-2]中的幂等元. 由半群SPCn的保序且降序性可知[n-1，n-2]中的幂等元有如下形式：

令：

引理2.6设n≥5，则SPCn⊆〈Gn-1∪EΔ〉.

引理2.7设G是半群SPCn的生成集，则对任意1≤i≤n，有λ(i，i)∈G.

证明由G是半群SPCn的生成集可知存在α1，α2，…，αr∈G， 使λ(i，i)=α1α2…αr，再由λ(i，i)∈[n-1，n-1]可得dom(α1)=dom(λ(i，i))=[n]{i}.我们断言α1=λ(i，i).(ⅰ)若r=1，则α1=λ(i，i).(ⅱ)若r≥2，则显然α2…αr∈SPCn. 注意到λ(i，i)是[n]{i}的恒等变换(由注2.1可知)且α1∈SPCn，若α1≠λ(i，i)，则存在x∈[n]{i}，使xα1

综上所述，α1=λ(i，i). 因此λ(i，i)=α1∈G.

引理2.8设G是半群SPCn的生成集，则对任意1≤i≤n-1，有λ(i，i+1)∈G.

x=xλ(i，i+1)=(xα1α2…αr-1)αr≤(xα1α2…αr-2)αr-1≤…≤(xα1)α2≤xα1≤x，x∈Di，i+1，

从而

xα1α2…αr-1αr=xα1α2…αr-1=…=xα1α2=xα1=x，x∈Di，i+1.

(1)

我们断言：对1≤m≤r，有

xαm=x，x∈Di，i+1.

(2)

事实上，若m=1，则由(1)式可得xα1=x，x∈Di，i+1.若2≤m≤r，则由(1)式，

xα1α2…αm-1=xα1α2…αm-1αm=x，x∈Di，i+1，

从而

xαm=(xα1…αm-1)αm=x，x∈Di，i+1.

im(αk)=dom(αk+1)，1≤k≤r-1.

(3)

引理2.9设G是半群SPCn的生成集，则Gn-1⊆G.

证明注意到

由引理2.7—2.8，Gn-1⊆G.

引理2.10设G是半群SPCn的生成集，则EΔ⊆G.

由G是半群SPCn的生成集可知存在α1，α2，…，αs∈G，使ε=α1α2…αs.(ⅰ)若s=1，则ε=α1∈G.(ⅱ)若s≥2，则由ε=α1α2…αm∈SPCn(1≤m≤s)可得

x=xε=(xα1α2…αs-1)αs≤(xα1α2…αs-2)αs-1≤…≤(xα1)α2≤xα1≤x，x∈Dk，i+1，

从而

xα1α2…αs-1αs=xα1α2…αs-2αs-1=…=xα1α2=xα1=x，x∈Dk，i+1.

(4)

我们断言：对1≤m≤s，有

xαm=x，x∈Dk，i+1.

(5)

若m=1，由(4)式可得xα1=x，x∈Dk，i+1.若2≤m≤s，由(4)式可得

xα1α2…αm-1=xα1α2…αm-1αm=x，x∈Dk，i+1，

从而

xαm=(xα1α2…αm-1)αm=x，x∈Dk，i+1，

故(5)式得证. 从而易得

Dk，i+1⊆dom(αm)，1≤m≤s.

(6)

i=(i+1)ε=(i+1)α1α2…αs=(i+1)α2…αs，

i=(i+1)ε=(i+1)α1α2…αs=(i+1)α2…αs=(i+1)α3…αs，

重复上述过程可得

再由(6)式，α1=α2=…=αs且它们都为Dk，i+1∪{i+1}上的恒等变换，从而

[1]GOMES M S，HOWIE J M. On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformation semigroup[J]. Semigroup Forum，1992，45(1):271-282.

[2]GARBA G U. On the idempotent ranks of certain semigroups of order-preserving transformation semigroup[J]. Portugal Math，1994(51):185-204.

[3]HIGGINS P M. Idempotent depth in semigroups of order-preservin mappings[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sec A，1994，124(5):1045-1058.

[4]赵平，游泰杰，徐波. 降序且保序有限部分变换半群的幂等元的秩[J].山东大学学报(理学版)，2011，46(4):75-77.

[5]LARADJI A，UMAR A. On certain finite semigroups of orderdecreasing trans formations[J].Semigroup Forum，2004，69:184-200.

[6]吴江燕，游泰杰. 保序部分变换半群POn的平方幂等元[J]. 东北师大学报(自然科学版)，2015，47(1)：6-11.

[7]赵平. 半群V(n，r)的幂等元秩[J]. 山东大学学报(理学版)，2012，47(2):78-81.

(责任编辑：李亚军)

On the rank of the semigroupSPCn

TIAN Ying-xin1，YOU Tai-jie2，ZHAO Ping2

(1.School of Information Engineering，Tongren Polytechnic college，Tongren 554300， China；2.School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China)

Let[n]={1，2，…，n} be a natural order set，CnandPCnbe the semigroups consisting of order-preserving or order-decreasing transformations and partial order-preserving or order-decreasing transformations on [n]，respectively. DenoteSPCn=PCnCn，it is called the order-preserving and order-decreasing stricty partial transformations semigroups. Forn≥5， it is given that the rank of the semigroupSPCnisn2-n+1.

transformation semigroup； order-decreasing； order-preserving;rank

1000-1832(2016)03-0009-05

2015-02-04

国家自然科学基金资助项目(11461014)；贵州省自然科学基金资助项目(黔科合J字[2013]2225号).

田应信(1990—)，女，硕士，主要从事半群代数理论研究；通信作者：游泰杰(1959—)，男，教授，主要从事半群代数理论研究；赵平(1973—)，男，教授，主要从事半群代数理论研究.

O 152.7[学科代码]110·2115

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.003