基于RMPC的高超声速飞行器输入饱和控制*

胡超芳 任艳丽 解倩倩

天津大学电气与自动化工程学院，天津 300072



基于RMPC的高超声速飞行器输入饱和控制*

胡超芳 任艳丽 解倩倩

天津大学电气与自动化工程学院，天津 300072

针对带有输入饱和限制的高超声速飞行器非线性纵向运动模型，提出了一种鲁棒模型预测控制器(RMPC)设计方法。利用雅克比线性化以及张量积(T-P)模型转换方法，将高超声速飞行器非线性模型转化为多胞线性参变(LPV)模型。在此基础上，将输入饱和表示为实际反馈控制律与辅助反馈控制律构成的凸包，建立饱和RMPC控制器，并通过引入辅助矩阵来降低其保守性，利用线性矩阵不等式(LMI)求解，以保证输入饱和条件下闭环系统的控制性能和稳定性。通过与其它RMPC控制器的仿真比较，验证了本文方法的有效性。 关键词 高超声速飞行器；输入饱和；鲁棒预测控制；张量积；线性参变模型

高超声速飞行器是指一类飞行速度超过5倍声速的飞行器。其机体/发动机一体化的设计，导致高超声速飞行器的非线性程度较高，对控制器设计提出了极大挑战。为避免复杂的非线性设计过程，并实现高超声速飞行器大包络下的飞行控制，鉴于线性参变(LPV)模型能够充分描述系统内在的非线性和时变特点，可以利用成熟线性控制理论的优势[1]。近年来基于LPV系统的高超声速飞行器控制研究得到了一定发展，如文献[2-3]针对高超声速飞行器纵向运动模型，在多胞LPV模型基础上设计了鲁棒变增益控制器。此外，输入饱和作为控制系统中较为常见的一种现象，严重影响着飞行控制系统的闭环性能和稳定性[4]，对于高超声速飞行器的安全稳定飞行具有重大现实意义，引起了广大学者的关注。如Xu等[5]基于动态面控制，利用指令滤波以及跟踪误差补偿来解决输入饱和问题；Huang等[6]采用积分二次约束对高超声速飞行器的输入饱和非线性进行处理，实现了平衡点处较小范围的稳定控制。

鲁棒预测控制(RMPC)由于其突出的显式处理约束能力以及良好的鲁棒控制性能[7-8]，在飞行控制领域也得到了一定的发展和应用。如文献[9]针对高超声速飞行器，设计了基于多胞LPV模型的RMPC控制器。而对于输入饱和限制要求，目前也已有关于RMPC的研究成果，如文献[10]基于多胞LPV模型，设计辅助线性反馈律，构建RMPC控制器，来解决输入饱和问题；Huang等[11]对该饱和方法进行了改进，通过引入权重调节参数降低了RMPC控制器的保守性。

本文针对带有输入饱和限制的高超声速飞行器纵向运动模型，设计饱和RMPC控制器。首先，基于雅克比线性化和张量积模型转换方法，将非线性系统转化为多胞LPV模型；然后，利用实际反馈控制律与辅助反馈控制律构成的凸集逼近饱和输入，并引入辅助矩阵来提高控制器设计自由度、降低保守性，以建立饱和RMPC控制器，并通过线性矩阵不等式(LMI)求解，保证了飞行状态的稳定收敛。仿真结果验证了所提方法的有效性。

1 模型描述

为了合理简化模型的复杂度，不失一般性，考虑如下假设[12]：

1)高超声速飞行器为理想刚性体，质心保持在机体纵轴上，推力沿纵轴方向；

2)不考虑地球自转，假设地面局部平坦且重力加速度恒定；

3)大气相对地球静止，忽略气流的不对称性及压缩性、阵风等因素的影响；

4)忽略飞行器横侧向运动对纵向运动的影响，只考虑纵向运动。

基于此，高超声速飞行器的纵向运动模型[13-14]为：

(1)

其中，h,V,α,θ,q分别为高度、速度、攻角、航迹角和俯仰速率，m,g分别为飞行器的质量和重力加速度，Iyy为飞行器相对机体坐标系y轴的转动惯量，L,D,T,M分别表示升力、阻力、推力和俯仰力矩。

(2)

ρ为空气密度，气动参数表达式为：

(4)

(5)

umax,umin分别为饱和上下限值，ε为所设计控制律。

2 多胞LPV系统建模

为建立高超声速飞行器的多胞LPV模型，首先需要构建其连续LPV模型。通过求解以下方程获得平衡点：

f1=Vsin(θ-α),

然后利用雅克比线性化(也就是小扰动线性化[15])，在平衡点附近，将纵向运动模型通过Taylor展开式化简，略去二阶以上无穷小量，得到近似的线性纵向运动模型。于是高超声速飞行器的动态特性就可用平衡点附近的线性系统来描述。

为此，对高超声速飞行器平衡点进行分析，得到雅克比线性化后的LPV模型：

(6)

其中，Δx=x-xe,Δu=u-ue，xe,ue为平衡点处的状态和输入，由f(xe,ue)=0求得。p(t)=[hV]T为变参数向量，h,V为调度变量，且p(t)∈Γ⊂R2，Γ=[2286.00m/s,2590.80m/s]×[25908.00m,26517.60m]是由期望飞行速度范围和高度范围所确定的有界闭域。其次，使用张量积模型转换方法获得式(6)在闭域Γ内的多胞模型，其主要包括以下步骤：1)在参数空间Γ内，分别在高度和速度两个维度上选取一定数量的采样点，将LPV系统离散化，并建立张量以存储以上离散系统；2)通过高阶奇异值分解(HOSVD)[16-17]，提取核心线性时不变(LTI)顶点系统；3)构建LTI顶点系统的权系数函数。本文中，取样密度为21×21，通过以上过程，时变矩阵S(p(t))=[A(p(t))B(p(t))]可以近似表达为变参数p(t)与有限个LTI顶点系统的凸组合

(7)

3 饱和RMPC控制器设计

Δx(k+1)=A(τ(k))Δx(k)+B(τ(k))Δu(k)

(8)

[A(τ(k))B(τ(k))]∈Ω=

co{[A1B1],[A2B2],...,[A20B20]}

其中，Ω表示顶点[AnBn]构成的凸包，即

[A(τ(k))B(τ(k))]=

为考虑控制输入的饱和约束(5)，基于系统(8)，采用状态反馈来设计饱和RMPC控制器。首先，对于输入饱和限制，将Δu表示为凸包的形式[18]

Δu=sat(KΔx,umin-ur,umax-ur)∈

(9)

sat(KΔx,umin-ur,umax-ur)=

(10)

然后，在多胞LPV模型(8)的每一顶点处均采用一致的状态反馈控制律(10)。Δx(k+i|k)为系统在k时刻得到的k+i时刻的预测状态，Δu(k+i|k)为k+i时刻的预测控制输入。取Lyapunov函数为V(k+i|k)=Δx(k+i|k)TPΔx(k+i|k),P>0，P为镇定矩阵。设k时刻Lyapunov函数V(k|k)=Δx(k|k)TPΔx(k|k)的上界值为γ，则目标函数J∞(k)为

其中，ψ,σ为正定加权矩阵。

下面给出定理1来求解以上饱和RMPC控制器，以保证闭环系统稳定性。

定理1 针对多胞LPV模型(8)以及饱和控制律(10)，给定初始状态Δx(k|k)、正定矩阵ψ,σ以及权重调节参数β>0，且令γ1=aγ。k时刻若存在0

优化问题1：

(11)

(12)

(13)

γ-γ1>0

(14)

(15)

(16)

证明：对式(11)应用Schur补定理[19]可得

Δx(k|k)TPΔx(k|k)≤γ

(17)

本文引入辅助矩阵G来提高控制器设计自由度，降低保守性[20]，根据文献[21]有G+GT-Q≤GTQ-1G成立，则式(12)和(13)可分别写为式(18)和(19)

(18)

(19)

将式(18)两边乘以λ1，式(19)两边乘以λj,j=2,3,4，并将两式左右分别相加可得：

n= 1,...,20 (20)

(22)

式(22)两边同时乘以γ,Δx(k+i|k)T和Δx(k+i|k)，令P=γQ-1,K=YG-1,H=ZG-1，则有

||AnΔx(k+i|k)+BnΔu(k+i|k)||P-

(23)

式(23)保证了Lyapunov函数递减，进而结合式(17)可知，Z={Δx(k+i|k)|Δx(k+i|k)TPΔx(k+i|k)≤γ}可作为模型(8)的不变集[8]，且该不变集包含原点。

(24)

(25)

(26)

对式(25)和(26)应用Schur补定理可得：

(27)

(28)

令Hl=ZlG-1,P=γQ-1，并对式(27)和(28)分别左乘diag{I,GT}和右乘diag{I,G}，可得

(29)

(30)

又因为G+GT-Q≤GTQ-1G，则有式(15)和(16)成立。此外，若k时刻存在可行解，则该解对于k+i,i≥0时刻仍然可行[8]，使得闭环系统稳定。

4 仿真

为验证本文控制器的有效性，对饱和条件下的高超声速飞行器纵向运动模型进行仿真。飞行参考点取为hr=26243.28m,Vr=2423.16m/s,αr=0.782°,θr=0.782°,qr=0,δer=10.627,Φcr=0.215，初始点取为h0=26060.40m,V0=2286.00m/s,α0=0.844°,θ0=0.844°,q0=0,输入饱和约束的上下界值分别为δemin=-30°,δemax=30°;Φcmin=0,Φcmax=1.5。

首先进行多胞LPV建模，然后选取合适的矩阵ψ,σ和权重调节参数β，设计饱和RMPC控制器。并将其与文献[8]中的经典约束RMPC以及常规无约束RMPC进行对比，仿真结果如图1～7所示。

图1 舵偏角

图2 空气当量比

图3 高度

图4 速度

图5 攻角

图6 俯仰角

图7 俯仰速率

从图1和2可以看出，饱和RMPC与经典约束RMPC[8]均能保证输入满足给定的饱和限制，而常规无约束RMPC控制器使得系统输入幅值过大，严重超过飞行器执行机构物理约束范围。由图3和4可知，与经典约束RMPC[8]相比，本文的饱和RMPC控制器设计方法保守性相对较低，高度超调量较小，速度上升较快，系统能够相对较快地到达参考点。图5～7分别表示了攻角α、俯仰角θ和俯仰速率q变化曲线，无约束RMPC下的状态变量变化幅值过大。而本文饱和RMPC下的α和θ略大于经典约束RMPC[8]方法，这是因为前者的控制量相对于后者较大，但总体变化仍然合理，到达稳态较快。综上分析，本文提出的饱和RMPC控制器是有效的，具有良好的稳定性和控制性能，实现了二者的兼顾。

5 结论

针对带有输入饱和的高超声速飞行器纵向运动模型，提出了一种饱和RMPC控制器设计方法。利用雅克比线性化以及张量积模型转换方法实现了非线性模型的线性化，建立了多胞LPV系统，并通过构造实际与辅助状态反馈律，设计了饱和RMPC控制器，其中辅助矩阵的引入一定程度上降低了控制器的保守性，使得系统既满足实际输入饱和限制，又实现了飞行器快速稳定的控制性能，为抗饱和控制方法研究提供了新的思路。

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Input Saturation Control Based on RMPC for Hypersonic Vehicles

Hu Chaofang, Ren Yanli, Xie Qianqian

School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China

Arobustmodelpredictivecontroller(RMPC)designmethodisproposedforthenonlinearlongitudinaldynamicmodelofthehypersonicvehiclewithinputsaturation.Thepoly-topiclinearparametervarying(LPV)modelofthevehiclecanbeobtainedbyusingJacobianlinearizationandtensor-product(TP)modeltransformationapproach.Basedonthismodel,thesaturatedRMPCcontrollerisdesigned,whichisbasedontheconvexhullconstructedbytheactualandauxiliarystatefeedbacklawstoreplacetheinputsaturation,andtheauxiliarymatrixisintroducedtodecreasetheconservatismofthecontroller.Thelinearmatrixinequality(LMI)isusedtosolvethecontroller.Thecontrolperformanceandstabilityoftheclose-loopsystemareguaranteed.TheeffectivenessoftheproposedmethodisdemonstratedbycomparingwithotherRMPCcontrollerssimulation.

Hypersonicvehicle;Inputsaturation;Robustmodelpredictivecontrol;Tensor-product;Linearparametervaryingmodel

*天津市自然科学基金项目(12JCZDJC30300); 国家留学基金

2015-08-27

胡超芳(1973-)，男，河北保定人，副教授，主要从事预测控制、飞行器优化与控制等研究；任艳丽(1991-)，女，山西吕梁人，硕士研究生，主要从事鲁棒预测控制研究；解倩倩(1990-)，女，河北沧州人，硕士研究生，主要从事鲁棒预测控制研究 。

TP273

A

1006-3242(2016)02-0020-07