极限究竟是什么运算

摘 要：高等数学是高等学校一门重要的基础课程，学好它对每一位大学生都是极为重要的，很多专业课程的计算都要用到高数。另外培养你的逻辑思维能力也是高数的功能之一。对于高数学习不太有信心的同学，希望能给以帮助。极限的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

关键词：高等数学，极限，运算

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！从数学式子上来讲， 趋近于在任何数学教材中都没说该怎么运算，是一笔糊涂账。

那么，极限到底是什么运算呢？其实很简单6个字：说一套做一特。说的是趋近于其实就是等于，老师总觉得讲的不过瘾，学生多半云里雾里罩着，没多少人愿意揭开这层面纱

函数的 极限分x趋近常数和x趋近于无穷大。X趋近于常数好办，直接将x等于常数代入，若有结果就写答案。什么叫有结果呢？就是极限存在和不存在都叫有结果。什么叫不知道结果？不知道结果只是暂时不知道结果，我们把这种型叫待定型。如0比0型，无穷大比无穷大型，1的无穷大次方型，无穷大减无穷大型等等。对于0比0型和无穷大比无穷大型，我们用现在时髦的术语就是来pk，就是用代数这的因式分解法和合差化积法，分子有理化或分母有理化，将分子和分母中的0或无穷大至少pk掉一个0或无穷大，只有至少pk掉一个，才能使得极限定了型，定了型才能写出极限的结果。如果因事分解法和差化积法及分子分母有理化都不灵，我们还有最后一招若必达法则。即分子分母分别求导数，用了一次若必达法则停一下，看看是否定了型，定了型写结果，未定型来继续，直到定了型为止。

只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助！

我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。

1 连续函数的极限

根据连续函数的定义，函数在某点的极限值等于函数在该点的函数值，即将常数代入函数，这是最简单的极限.

2 不连续但极限有结果的

很多同学会把极限不存在与极限的待定型搞混淆了，分不清.其实极限要搞清楚的是极限的状态与极限的结果不是一回事，极限存在与极限不存在都是有结果，有结果就写结果，题目做完了.而极限的状态包括有结果和等结果，所谓等结果，就是结果不能一眼看出来，它的极限可能存在可能不存在，我们把这类型叫做待定型.

3 待定型的极限

待定型有很多形式，如0比0型，无穷大比无穷大型，无穷大减无穷大型，1的无穷大次方型等等.在极限的计算应用中，待定型的技巧最多，难度相应也大些，通常我们用到的技巧有：因式分解法，和差化积法，分子有理化，分母有理化，无穷小与无穷小的比较，无穷大与无穷大的比较，有界函数与无穷小的乘积为无穷小，极限中两个重要的公式及数学形式不变性等等.下面举例说明待定型的解题技巧.

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个， 需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。

此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如： 等等。特别强调在运算的之前，检

验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。（特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。

第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：

（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如： ，这道题中，可以看到提出最

高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。

（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式 ，

这种形式也是比较直观的。比如：这道题的基本接替思路是，检验形式是“ ”，然后选用公式，再凑出公式的形式，最后直接套用公式。

第二种是取对数消指数。简单来说，“ ”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。

4 极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会。

作者简介

杨锦（1951-），男，数学教授，研究方向：数学分析、心理数学。