从一道易错题谈谈对函数极值的理解

谢晴

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）05-0369-01

引例：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则ab=本题是初学者非常容易出错的一道题，错误解答如下：

事实上，上述错误是对函数极值理解不到位造成的。函数的极值相对于函数最值而言，是一个函数的局部概念。一般的，对（a，b）上的连续函数f（x），若在x=x0附近非常小的邻域 （x 0-ε，x0+ε）（ε为非常小的正数）内，①f（x）在x=x0处左增右减，则f（x）在x=x0处取得极大值，x0称为f（x）的极大值点；②f（x）在x=x0处左减右增，则f（x）在x=x0处取得极小值，x0称为f（x）的极小值点。对函数极值的理解要注意以下几点：①在定义域上的单调函数，没有极值；②函数的极值可能有多个，极大值与极小值没有大小关系。这点不同于函数的最值，函数最值是针对函数整体的概念，在[a，b]上的连续函数f（x）一定存在最值，最大值一定大于最小值。③对函数极值的判断中一定要注意在 的左右，函数的单调性是否发生变化。

就人教版的教材而言，不管是选修2-1，还是选修1-1，我们谈的函数的极值，基本上都是在[a，b]上连续，在（a，b）上可导的函数f（x）的极值。对于这样一类的可导函数的极值，我们所要遵循的规律是：对可导函数的极值点x=x0，一定有f`（x0）=0；反过来成立的x=x0不一定能成为极值点。例如，y=x3在R上单调增，不存在极值，而y`=3x2=0有实根x=0。因此不能单纯的以为，可导函数的极值点就是使得f`（x）=0的零点。我们求解可导函数极值点的步骤如下：①f`（x）=0的解x=x0；②判断f`（x）=0在x=x0左右符号是否发生变化：若f`（x）在x=x0邻域内的符号是左正右负，则f（x）在x=x0处取得极大值，x0称为f（x）的极大值点；若f`（x）=0在x=x0邻域内的符号是左负右正，则f（x）在x=x0处取得极小值，x0称为f（x）的极小值点。事实上判断导函数符号的变化，本质上是判断函数在x=x0邻域单调性的变化。

希望上述对函数极值的分析对初学者有实用，另附习题一道，可以检验一下对函数极值概念的把握。

练习：已知函数f（x）=13x3+a2x2+ax+b，当x=-1时，f（x）的极值为-712，求a，b