求极限方法的研究

【摘 要】本文对定义证明、运算法则、洛必达法则、夹逼准则、连续性质、泰勒公式、无穷小等价代换定理、重要极限这八个基本方法进行了归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

【关键词】极限；洛必达法则；夹逼准则；连续性质；泰勒公式；无穷小

极限是在实践中产生的，例如我国古代在求圆的面积时，应用割圆术来求圆的面积，从而产生了极限的思想。而极限是微积分中的一个重要概念，微积分的思想就是极限的思想。因此极限对于微积分来说就显得尤为重要。下面我就从五个方面来研究求极限的方法。

一、按定义证明

利用极限的定义来论证某个数A是函数的极限时，重要的是对于任意的正数ε，要能够指出定义中所说的这种δ确实存在。

例如证明

证明由于

为了使 ，只要

所以， ，可取 ，则当 适合不等式 时，对应的函数值 就满足不等式

从而

二、按运算法则计算

1.利用无穷小法则

两个无穷小的和的极限是无穷小，有界函数与无穷小的和是无穷小，常数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无穷小。

例如 =0 这是有界函数与无穷小的和是无穷小的例题

，而 是有界函数

2.利用四则运算法则

如果 ， ，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）·g（x）]=A·B

例如

3.利用复合运算法则

设函数y=f[g（x）]是由函数 与函数 复合而成，f[g（x）]在点 的某去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则

例如 ， 是由 与 复合而成

三、按洛必达法则计算

当极限是未定式时，就可以用洛必达法则计算。

例如

四、按夹逼准则计算

如果（1） 时，

（2）

。那么

例如计算

又

五、按无穷小等价代换定理计算

设 ～ ， ～ 且 存在，则

例如计算

解：当 时， ～ ， ～ ，所以

六、按连续性质计算

设函数 在 的某邻域内连续，那么

例如计算

七、按泰勒公式计算

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，可求某一些未定式的极限

例如计算

八、重要极限

例如计算

极限是变量变化的一种趋势，求极限的方法的研究，其实就是研究变量的一种基本的方法。在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，本文通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系 高等数学 第七版上下[M].北京： 高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等数学[M].北京： 科学出版社，2009.

作者简介：

程国华（1963.2～）男，江西南昌人，数学专业，研究方向：数学建模。