陆祥雪 彭景晖
操作探究猜想结论推理证明
——探究关于坐标轴夹角平分线对称的点的活动方案
陆祥雪彭景晖
【活动背景】本次活动是在同学们学习了《平面直角坐标系》一章后,了解了坐标系中对称点的坐标特点的情况下,利用几何画板软件,探究关于坐标轴夹角平分线对称的点的特点.将现代信息技术与数学实验融合起来,通过操作、观察、归纳、类比等活动发现规律,猜想结论,发展合情推理能力,并认识到结论的正确性要通过推理来确认.
【课前准备】
笔记本电脑数台,要安装几何画板软件,装有投影设备的教室.
【活动过程】
活动一:观看老师的操作步骤,模仿操作
步骤:1.打开几何画板界面,熟悉一些基本操作;
2.点击“绘图”菜单,在下拉菜单中,选择“网格样式”,再在其子菜单中,选择“方形网格”(如图1);
图1
3.标注原点O,选择“点”工具,分别在x、y正负半轴上,标上点P、M、Q、N;
图2
4.依次选中点P、O、Q,在菜单“构造”的下拉菜单中,选择角平分线,则可画出x轴正半轴与y轴正半轴所夹角的平分线,类似可画另外三条.
图3
说明:把∠POQ、∠MON的角平分线合称为:第一、三象限的角平分线;把∠MOQ、∠PON的角平分线合称为:第二、四象限的角平分线.
5.在坐标平面内任点一点,利用菜单“显示”的下拉菜单中的“点的标签”,标注为点A.再点击菜单“度量”的下拉菜单中的“坐标”,就可以得到点A的坐标.点击点A及∠POQ的角平分线,在菜单“变换”的下拉菜单中选择“反射”,则可得到点A关于∠POQ的角平分线对称的点,标注为A′点并度量其坐标.
图4
活动二:小组活动,观察点A与点A′坐标的特点
用鼠标拖动点A,观察当点A变化时,点A′的坐标变化情况,并做适当记录.类似探究关于∠MOQ、∠MON、∠PON的角平分线的对称点的坐标特点.
思考:1.点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线的对称点P′的坐标是什么?
2.点Q(a,b)关于第二、四象限的角平分线的对称点Q′的坐标是什么?
活动三:全班交流,汇报观察结果
第一小组汇报:我们发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线的对称点P′的坐标为(b,a).
第二小组汇报:我们发现:坐标平面内任一点Q(a,b)关于第二、四象限的角平分线的对称点Q′的坐标为(-b,-a).其他小组表示赞同.
活动四:证明结论
结论1平面直角坐标系内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线的对称点P′的坐标为(b,a).
图5
证明:连接PP′交于第一、三象限的角平分线于点Q,作PM⊥x轴于点M,作P′N⊥y轴于点N,连接OP、OP′.因为点P、P′关于第一、三象限的角平分线对称,可得OP=OP′,∠POQ=∠P′OQ,则∠POM= ∠P′ON.所以,△POM≌△P′ON.故OM=ON,PM=P′N.
又因为P(a,b),所以,OM=ON=a,PM =P′N=b,即P′的坐标为(b,a).
结论2平面坐标系内任一点Q(a,b)关于第二、四象限的角平分线对称点的坐标为(-b,-a).
仿结论1的证明方法,容易得证.各小组同学自行完成,相互评价.
活动五:理解与运用
已知两点D(1,-3)、E(-1,-4),点Q是第一、三象限的角平分线上一动点,试求QD+ QE的最小值.
朱泽辰同学到黑板上展示他的解答过程.
解:作点D(1,-3)关于第一、三象限的角平分线的对称点D′,由结论1得,点D′的坐标为(-3,1).再连接D′E,交第一、三象限的角平分线于点Q,则DQ+EQ最小.最小值即为D′E的长,由勾股定理,得D′E=
图6
【活动收获】通过本次活动,你体会到将信息技术与数学学习相结合有什么优势?你体会到合情推理与演绎推理间的什么关系?
(作者单位:江苏省泰州中学附属初级中学)