高中数学“怎样审题”表及其应用

张哲++韩红军++张红祥

[摘 要]复习是教学过程的一个重要环节，初中化学复习过程不是老师将学生的知识进行机械的重复和再现，也不是按照老师划定的内容让学生死记硬背，而是应该先按照教材体系使知识前后系统化，形成知识链，形成知识网络，突出知识之间的相互联系，使学生正确理解和掌握所学知识，提高综合能力。

[关键词]初中化学；复习；能力培养

美籍数学家乔治﹒波利亚（George Polya）的“怎样解题表”将解题分为四部分：审题，转换，实施，反思，指出“审题”作为解题过程的第一步骤至关重要。[1]审题作为解题的第一环节，它是确定解题的依据，是形成解题思路的重要一环，审题的正确与否，直接关系解题的成效，只有全面透彻的审题，才能有明确的解题方向，合理的解题思路。

审题是解题的灵魂，审题为解题思维提供切入点和突破点，审题过程可以看成是一个思维定向的过程，即在审题中分析目标、简化目标，由抽象到具体，将不易把握转化为可把握，根据条件联想类似方法，解题思路由封闭转变为开放，让学生进行有效地思维，逐步使学生能够准确、完整地把握概念、公式、定理。[2]

1 程序化审题的模式

1.1 什么是审题

数学审题是解数学题的首要步骤，是正确解题的前提，是提取解题有用信息的积极思维活动。审题是解题的开始，是感知问题，分析问题特征，并将其反映在头脑中的思维活动。

从图式的角度看，审题图式包含了预测、选择、检验、证实等心理活动。在审题过程中，图式一经启动，所有图式中的信息都将处于一种准备状态，可以随时参与理解，但又过于杂乱，于是图式会结合数学问题的各方面信息，从中选择最合适的内容与图式中的信息进行交流。在审题过程中，如果证明某条信息是错误的，或是发现有新的信息能给予数学问题更合理的解释，那么图式将重组，不断摒弃、修正。

从审题的程序看，审题可以分为“四个步骤”：（1）读题——弄清字面含义。（2）理解——弄清数学含义。（3）表征——识别题目类型。（4）深化——接近深层结构。简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的.对于变通过的、“形似而质异”的、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“弄清问题”.因而，“弄清题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质的“弄清问题”、努力接近问题的深层结构.[3]

根据以上研究成果，本文所涉及的数学审题就是对题目信息进行观察、理解、处理，感知数学问题中的文字和图形信息，弄清哪些是条件，哪些是结论，获取数学“符号信息”和“形象信息”，识别题目的类型，将获取的信息不断重新整合，提取有用的结论，明确解题方向、思路和途径；在解题过程中发现已知和未知之间的联系无法建立时回题，检查是否遗漏或忽略某一条件；当问题得到解答时，检测结论是否与已知相符合，是否与已知有矛盾之处的一种立体螺旋式动态思维活动。

1.2 程序化审题的模式

数学审题贯穿于整个解题过程之中，包括解题前的初审、解题中的再审、解题后的终审三部分。三部分互相依存，形成一个有机的整体，又密不可分。

2 “怎样审题”表

仿照美籍匈牙利数学家、数学教育家乔治·波利亚（George Polya，1887～1985） 1945年所著的《怎样解题》一书中提到的“怎样解题”表，我们设计了高中数学“怎样审题”表，主要包括解题前的初审、解题中的再审、解题后的终审三部分.

2.1 解题前的初审——弄清问题 寻找联系

2.2 解题中的再审——挖掘隐含 突破障碍

2.3 解题后的终审——反思回望 检验论证

3 “怎样审题”表的应用

我们以下题为例说明“怎样审题”表的应用，原题如下：已知 ，则 的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

第一步，解题前的初审

弄清题意：本题是解析几何问题，圆是载体，已知条件主要有： 结论主要有：求 的取值范围。

明确范围：本题涉及圆的一般方程、标准方程、参数方程之间的互化，涉及多参数问题的处理策略。

确定类型：本题属于解析几何中多参数最值问题。

根据上述分析，我们很容易想到下列审题程序一：

根据上述思路，我们很容易求出

尝试回忆：此问题与下列问题非常相似： 是曲线

上任意一点，则 的最大值是（ ）

A.36 B.6 C.26 D.25

这两个问题结论非常相似，但是条件好像完全不同，实则可以将本题条件圆的一般方程变形为圆的参数方程。

展开联想：联想到下列问题：若实数x，y满足

求x+y+1的最大值。

本题已知条件 可以变形成

显然这是一个圆，此问题可以借助圆的参数方程，转化成三角函数求最值问题，于是我们可以得到如下审题程序二：

第二步，解题中的再审

本题涉及两个变量，而且结论中的 所以上述审题程序一是有漏洞的，失误主要是忽略了题目中由于两个变量x，y的相互制约所隐含的变量x的取值范围，所以我们可以进一步完善上述审题程序一如下：

回归定义：继续深入审视本题，已知条件 可以变形成 即 由上述审题程序一中知：

联想到涉及两个参数的范围，求最值问题，我们很自然想到线性规划的定义，能否运用线性规划知识求解，于是我们可以得到如下审题程序三：

第三步，解题后的终审

运用此题的审题程序我们也可以用来解决下列问题：

1.已知实数x，y满足 则 的最小值为（ ）

A.3 B.5 C.9 D.25

2.已知实数x，y满足 ，求：

（1） 的最值； （2） 的最小值； （3） 的最值。

数学审题的目的就在于理解题目，所以我们必须做好以下几件事：（1）仔细审题，抓住题干，弄清题设条件的数学含义。（2）抓住题设条件中的关键字眼，联想是否有已知结论可以借用。（3）排除迷惑，不要受题设条件中非关键字眼的影响，以至于产生不必要的知识点联想。（4）尽可能挖掘题设条件中的“隐性信息”。（5）尝试用数学语言或图形来表达题目。（6）若题设条件与几何意义明显，画出草图来理解题目含义。数学审题过程它不仅对解题者的知识基础和知识结构有要求，而且依赖于解题者拥有良好的思维品质和学习习惯。

数学审题能力的高低，直接反映了学生的数学解题能力和学习数学的水平。在课堂教学中，数学审题能力的提高对于学生正确快速解题的作用体现在以下四个方面：（1）有利于理解和应用数学知识。教学中，培养学生审题，可以使学生明了解题方向，理清解题思路，抓住题目重点；可以加深学生对有关内容的理解，发现知识间的内在联系及规律；可以使学生的知识局限得以突破，从而拓展思维，优化知识框架，完善知识体系。（2）有利于促进学生思维品质的优化。培养学生的审题意识，才能促使学生在审题中提升思维品质，做到准确细致、深刻全面，养成良好的思维习惯，做到目标明确，重点突出，善于挖掘，进一步提高学生准确找到解决问题突破口的能力。（3）有利于培养学生“提出问题”的意识。教会学生“提出问题”是教会学生怎样解题的一个切入口和突破口。为了激发学生提出问题的兴趣和意识，在审题时，引导学生紧扣题目的条件和结论，进行分析、联系、转化等操作，进而让学生学会“提问”。（4）有利于培养学生自主学习的意识。“学起于思，思源于疑”。在数学审题过程中，我们应当有意识地鼓励学生多方位、多角度地思考问题，对题中的各个条件之间的联系，新的结果等进行大胆猜想，主动质疑，发现问题并尝试解决问题。

参考文献：

[1]波利亚，阎育苏译.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.

[2]周小芬.高中数学审题训练方法探究[J].丽水学院学报，2005（10）：95—97.

[3]罗增儒.数学审题审什么，怎么审？[J].中学数学教学参考，2012（4）：39—43.

本文是2015年陕西省教育学会一般课题——高中学生数学审题失误的原因与对策研究（编号：SJHYBKT2015315—02）的研究成果。