对WASP-43 b和TrES-3 b凌星主食的测光后续观测及凌星中心时刻变化研究∗

孙昭1,2 季江徽 董瑶

(1中国科学院紫金山天文台 南京 210008) (2中国科学院大学 北京 100049) (3中国科学院行星科学重点实验室 南京 210008)

对WASP-43 b和TrES-3 b凌星主食的测光后续观测及凌星中心时刻变化研究∗

孙昭1,2†季江徽1,3‡董瑶1,3

(1中国科学院紫金山天文台 南京 210008) (2中国科学院大学 北京 100049) (3中国科学院行星科学重点实验室 南京 210008)

使用紫金山天文台盱眙观测站近地天体望远镜对WASP-43 b和TrES-3 b分别做了2次和4次凌星主食的测光后续观测.经过较差测光和光变曲线拟合,分别得到了两个系统的相关物理参数,结果与之前的文献结果吻合.结合多篇文献中的数据,对两个系统凌星中心时刻的观测残差O−C分别作了线性和二次函数拟合,根据线性拟合得到了行星的轨道周期及凌星中心时刻变化即TTV,分析后认为在两个系统中尚未发现明显的周期性TTV信号,并给出了WASP-43和TrES-3系统中1:2轨道共振位置上可能存在行星的质量上限分别为1.826和1.504个地球质量.通过二次函数拟合,尚未发现TrES-3 b存在长期TTV即轨道衰变;证认了WASP-43 b可能存在轨道衰变,得到其轨道衰变率˙P=(−0.005248±0.001714)s·yr−1,并与文献中的相关结果做了比较,还据此计算出了该系统的恒星潮汐质量参数下限为≥1.5×105,并分别对两个系统中不同的值给出了相应的行星剩余寿命.

天体测量学,行星与卫星:动力学演化与稳定性,恒星:个别:WASP-43,TrES-3,方法:观测,方法:数值

1 引言

截至2016年5月,人们利用凌星法发现了约2600颗系外行星(http://exop lanet.eu), WASP-43 b和TrES-3 b为其中的两颗.当凌星行星掠过其主星表面时,会暂时遮挡住部分恒星发出的光,这种效应在观测上表现为恒星的流量下降.通过综合凌星和视向速度的观测数据,可以确定系外行星的质量和半径,由此可以得知此行星的密度,这一参数对研究系外行星的内部结构至关重要.

Hellier等[1]发现WASP-43有1颗行星大小的凌星伴星.这颗行星质量为1.78个木星质量,其绕恒星的公转周期约为0.81 d,轨道半长径约为0.014 au,在已知的热木星中最接近其主星.Hellier等[2]估计公转周期如此之短的热木星数目比那些周期“堆积”在3–4 d的同类天体要少两个数量级.类似于WASP-19 b[3],WASP-43 b可作为研究行星与其主星的潮汐相互作用以及行星的剩余寿命的案例.Brown等[4]认为WASP-19 b加速了其主星的自转,并且可能处于螺旋下落到主星过程的最后阶段.Barker等[5]认为的值预期会依赖于恒星对流层的质量(是Teff的函数),因此依赖于恒星的光谱型. WASP-43是1颗K 7型主序星,比WASP-19的光谱型晚(后者为G型),如Hellier等[1]所建议,WASP-43 b将是对理论值的一个重要的测试案例.

天文学家对WASP-43 b开展了大量的观测研究.Gillon等[6]通过高强度的多次凌星主食和次食观测大大提高了行星质量和半径等参数的精度.之后,Blecic等[7]基于Gillon等[6]和凌星观测计划TRESCA(TRansiting Exop lanetS and CAndidates,参见http://var2.astro.cz/EN/tresca)项目[8]中的业余天文爱好者的凌星中心时刻,第1次发现存在轨道周期衰变˙P=(−0.095±0.036)s·yr−1,由此得到WASP-43 b剩余寿命大于5×105yr,恒星潮汐质量参数下限>12000.M urgas等[9]加入了5次GTC(Gran Telescopio Canarias)的观测数据,重新计算得到轨道衰变率为˙P=(−0.015±0.006) s·yr−1.Chen等[10]通过重新分析TRESCA的数据并加入了GROND(Gamm a-Ray Burst Optical/Near-Infrared Detector)多波段凌星主食观测数据,计算出˙P=(−0.09±0.04) s·yr−1.最近,Jiang等[11]结合自己的8次观测和前人的光变曲线数据,发现˙P=(−0.029± 0.008)s·yr−1,表现为缓慢的轨道周期衰减,得到量级约为105.Hoyer等[12]又在前人基础上增加了15组新的凌星数据,拟合得到˙P=(−0.00002±0.0066)s·yr−1,因此认为WASP-43 b周期恒定,不存在轨道衰减,并由此确定≥105.

TrES-3系统由1颗临近的G型矮星和1颗轨道周期为1.3 d的热木星构成,也是已知比较接近其主星的热木星之一,发现者为O’Donovan等[13],同时也被Collier Cam eron的SuperWASP巡天[14]探测到.之后,Sozzetti等[15]通过新的测光和光谱观测提高了系统数据测量精度,并重新确定了系统物理参数,还研究了TrES-3 b的凌星中心时刻变化(TTV).Gibson等[16]进行了9次凌星后续测光观测,并与之前文献[15]的凌星数据结合,给出了系统中潜在扰动行星的质量上限对该行星与TrES-3 b的周期比的函数.他们发现O−C的精度足以探测到位于TrES-3 b的2:1内外共振位置且处于圆轨道的类似地球质量的行星.Christiansen等[17]通过7次凌星主食观测,在TrES-3的光变曲线中发现了长期变化,认为可能由恒星黑子所引起.类似地,Lee等[18]通过结合自己的4次观测与前人和TRESCA的观测数据分析,排除了系统存在明显周期性TTV的可能,并认为O−C的波动可能由恒星磁场活动所引起.Turner等[19]通过对他们的9次光学和近紫外观测的分析也得出了相似的结论.Kundurthy等[20]通过对11次凌星观测及相关文献的凌星中心时刻分析,没有发现存在明显的TTV,并给出了在TrES-3 b 1:2共振位置上能够存在的行星质量上限为0.66个地球质量.Jiang等[21]展示了5次TrES-3 b凌星观测结果,并在结合前人的光变曲线数据分析凌星中心时刻后,提出系统中可能存在单频率的周期性变化的TTV.Vaˇnko等[22]通过多次观测并结合前人数据给出结论,认为4 yr期间幅度大于1m in的周期性TTV信号不大可能存在.他们的分析排除了在TrES-3 b的3:1、2:1、5:3以及3:5、1:2、1:3共振位置上存在1颗大于地球质量行星的可能性.他们还通过数值积分发现系统中轨道半长径位于0.015–0.05 au范围的行星动力学不稳定,而在0.05 au外的区域中,行星在动力学上将会表现出混沌行为,并且其能量耗散随着初始偏心率和轨道倾角的增加而增加.

基于上述工作,利用盱眙近地天体望远镜,我们对WASP-43 b和TrES-3 b分别做了2次和4次凌星主食的后续测光观测,并计算了两个系统的相关物理参数.结合前人的数据,计算并讨论了凌星中心时刻变化,推导了主星潮汐质量参数的下限,进一步模拟了行星的剩余寿命.第2节将展示我们的观测结果和测光数据处理;第3节描述对光变曲线的拟合;第4节将估算WASP-43 b和TrES-3 b的轨道周期,并分析凌星主食中心时刻变化;第5节将讨论两个系统的及对应的行星剩余寿命;最后一节给出总结和对将来工作的展望.

2 观测与数据处理

我们用中国科学院紫金山天文台盱眙观测站的近地天体望远镜对两个目标进行观测.近地天体望远镜是施密特型光学望远镜,有效口径为1.04 m,焦比为f/1.8,有效无晕视场直径为3.14◦,在同类型望远镜中口径为中国最大、国际第5;观测站视宁度好于100.近地天体望远镜实测指向精度为8.1600(RMS);跟踪精度在10m in内CCD导星时好于100(RMS).在我们观测时,该望远镜配备有4K×4K CCD探测器(现已升级为10K× 10K CCD探测器),有效视场(FOV)为1.94◦×1.94◦,角分辨率为1.70500/pixel.目前望远镜配置了标准Bessel测光系统和Sloan数字巡天测光系统.相机的读出时间在200 kHz双通道读出模式下约为43.2 s.

我们使用IRAF(Image Reduction and Analysis Facility)软件对观测图像进行数据处理.首先,我们用DATAIO程序包中的RFITS程序将观测得到的FIT图像文件转换为FITS图像文件(两种格式均属于Flexible Image Transport System系统).然后,用CCDRED程序包中的CCDPROC程序对CCD图像进行了标准流程的预处理,包括减本底、除天空平场以及移除宇宙射线.我们用中值合并法将10张左右0 s曝光的本底合并成主本底;使用晨昏天光测量约10张平场,选取流量合适、受光均匀的区域然后归一化,再中值合并为主平场.由于CCD的暗流小于0.007e−/p/s@−100oC,因此可以忽略.每次曝光的初始时刻记录在FITS图像文件的文件头中,具体为北京时间(比协调世界时UTC早8 h),我们将其修正到曝光的中心时刻,然后转化为儒略历(JD).

目标星和参考星的流量使用IRAF软件中的APPHOT程序包通过孔径测光得到.在测光前,我们先用IMALIGN将所有图像对齐以消除望远镜跟踪误差的影响,然后用FIND确定目标星及其参考星位置,该算法通过用高斯函数拟合x和y方向的边缘分布获取星像的中心位置.类似地,我们可以用高斯函数拟合出星像点扩散函数的半高全宽(FWHM),以显示视宁度的影响.用PHOT程序做孔径测光时,我们一般会测试多组孔径和天空背景环的大小,最后选取使光变曲线精度最高的参数设置;同时要在合理的范围内排除附近暗星的流量,使其对测光结果的影响可以忽略不计.通常最后选取的孔径大小为2–3倍的FWHM,我们发现这种动态孔径比固定半径孔径的测光质量更佳.我们测试了多颗参考星,最后选取了色指数和光度都与目标星最接近的、周围无其他恒星星光污染的、流量没有溢出的附近非变星恒星作为参考星,二者流量相除进行较差测光以得到光变曲线.我们通常会选取多颗参考星,获得多条光变曲线,然后选取凌星外(OOT)弥散最小的一条作后续拟合等计算.以OOT观测值拟合的直线为基准,每次观测的光变曲线都最终被归一化到相对流量值.

2.1 WASP-43 b

我们分别于2011年4月24日和2011年5月7日两次对WASP-43 b的凌星主食事件进行了测光观测.在第1次观测期间,天空晴朗适合测光观测,测光误差在2–3 mmag之间; 5月7日的第2次观测中,由于观测高度角相对较低,并且天气条件较不理想,因此噪声相对较大,测光误差在3–8 mmag之间.表1列出了详细的观测信息(其中RJD=JD−2450000/d).

表1 WASP-43 b观测记录Tab le 1 T he ob servation log of W ASP-43 b

2.2 TrES-3 b

我们分别于2010年10月9日、2011年1月29日、2011年3月25日和2011年4月11日4次对TrES-3 b的凌星主食事件进行了测光观测.其中第1次观测的天空条件最好,最适合测光观测,测光误差在2–3 mmag之间;第2次观测初始的高度角较低,测光误差在2–3 mmag之间;第3次观测的天气条件较不理想,测光误差在3–5 mmag之间;第4次观测在入食阶段(ingress)有薄云遮挡,因此噪声较大,为了消除这一影响我们在进行光变曲线拟合时移除了这段时间的数据,移除后测光误差在2–5mmag之间.表2列出了详细的观测信息.

表2 TrES-3 b观测记录Tab le 2 The observation log of TrES-3 b

3 光变曲线拟合

通常,在地面观测得到的光变曲线难以达到由白噪声占主导的程度,因为存在由各种仪器和大气效应引起的与时间相关的红噪声,包括:目标星与参考星之间的光谱型差异引起的光变曲线畸变;仪器的重力形变、大气的蒙气差效应、跟踪精度等引起的星像位置变化;视宁度的变化引起的星像大小变化等,这些噪声需要通过模型拟合来退相关.此外,发生凌星主食时,行星在不同位置遮挡的主星光会受到恒星临边昏暗效应的影响.我们采用一维恒星大气模型推导的二次临边昏暗律[23−25],即:

其中µ=cosθ(θ为观测者视线方向与恒星表面某点法线的夹角),I1和Iµ分别为观测者看到恒星表面中心处和与法线成夹角θ处的亮度,u1和u2分别为一次和二次临边昏暗系数.

我们使用TAP(Transit Analysis Package)[26]对光变曲线进行拟合,该程序包使用IDL(Interactive Data Language)语言,基于Mandel和Agol的凌星光变曲线模型[27],采用了小波分析法模拟红噪声,再用生成的似然函数作为统计依据进行马可夫链蒙特卡洛(MCMC)拟合[28].同时,TAP还应用了Eastman等[29]的EXOFAST,从而在IDL中实现Mandel和Agol模型.

对每条光变曲线,TAP拟合的参数包括:行星公转周期P、轨道倾角i、轨道半长径与恒星半径比a/R∗、行星与恒星半径比Rp/R∗、凌星主食中心时刻Tmid、一次临边昏暗系数u1和二次临边昏暗系数u2、轨道偏心率e、轨道近星点幅角ω、用来线性补偿全局大气质量改变趋势的大气质量在纵轴的截距Fint和斜率Fslope,以及非相关的高斯白噪声σwhite和时间相关的红噪声σred(表示为1/fγ的函数,其中f为频率,假设γ为1),其中P需要多次主食观测才能确定,e和ω无法仅通过主食测光得到,通常需要由视向速度法定出或由主食与次食结合计算导出.考虑到WASP-43 b和TrES-3 b均为短周期热木星,甚至可能已经受潮汐作用达到同步自转,所以e通常假设为0.在用TAP进行MCMC链拟合前,需要对上述参数设定初始值;当参数的初值选取了之后,用TAP进行拟合时,以上任意参数都可以选择为:(1)完全固定;(2)完全自由变化;(3)根据高斯函数变化,即高斯先验.此外,以上任何参数只要没有完全固定,就可以在多条不同的光变曲线之间相关联.

关于临边昏暗效应,我们在下面描述的拟合过程中选取了二次临边昏暗模型,临边昏暗效应系数u1和u2的初值由EXOFAST在线工具[29]给出.该程序基于Claret等[25]推导的二次临边昏暗效应系数表,根据主星的有效温度Teff、表面重力加速度lgg、金属丰度[Fe/H]以及微观湍流因子Vt,对我们观测中使用的SDSS的r0波段进行双线性插值计算得到.

3.1 WASP-43 b

主星WASP-43的主要参数选取自Gillon等[6].Southworth[30]发现最佳拟合的临边昏暗效应系数值与通过插值得到的理论值可能会存在0.1到0.2的差异,因此,我们在拟合u1、u2时选取理论值作为高斯先验中心,并设置σ=0.5,这样高斯分布的全宽可覆盖这一差异.同时,为了最小化参数间的潜在简并度,我们根据Gillon等[6]的表5固定选取了周期P,并将轨道偏心率e和近星点幅角ω固定为0.由于轨道周期固定,轨道半长径和轨道倾角不应该作为完全自由参数进行拟合.因此,在运行TAP时,我们将轨道倾角i和轨道半长径与恒星半径比a/R∗的初始值和误差大小σ取自Gillon等[6]的表5.作为通过光变曲线拟合想获得的主要参数,我们将行星与恒星半径比Rp/R∗(初始值取自Gillon等[6]表5)和凌星中心时刻Tmid设为完全自由参数,以得到对光变曲线拟合的最佳值.参数初始值设置详见表3.

表3 WASP-43 b初始参数设置Tab le 3 T he in itia l param eter setting of W A SP-43 b

由TAP拟合得到的结果见表4.此表列出了所有参数值及其误差.此外,观测得到的光变曲线和最佳拟合模型见图1.

表4 WASP-43 b光变曲线拟合结果Tab le 4 T he resu lts of ligh t-cu rve ana lysis for W A SP-43 b

表4中显示的轨道参数和凌星主食中心时刻的误差棒来自于TAP的计算.我们用TAP共计算了5条长度为106的MCMC链,所有的MCMC链合并在一起得到了最终结果.结果记录了百分比为15.9%、50.0%和84.1%的值,其中百分比为50.0%的值即中值取作最佳值,另两个值给出了误差棒的上下限.这一误差估计在Gazak等[26]文中成功通过了测试,并且在多篇文献中得到了成功验证(例如文献[9,11–12,21,31]等),因此我们此处得到的误差棒应该与光变曲线的数据质量相一致,并且给出了可靠的误差估计值.经比较可见,在算得的误差范围内我们得到的系统参数与之前的文献(例如文献[6, 10–11]等)中的对应参数是相吻合的.

图1 WASP-43 b凌星的光变曲线和最佳拟合模型,不同的光变曲线已在图上标明.图中的点表示较差测光数据,虚线表示最佳拟合模型,实线表示基于模型的红噪声最大可能解;底部为各自对应的残差.为了获得清晰的视觉效果,光变曲线和残差都在纵轴上作了相应的平移.Fig.1 The transit ligh t cu rves of W ASP-43 b and the best fitting m odels.Each ligh t cu rve is m arked in the figu re.T he dots are d ifferen tia l photom etric data,the dashed cu rves are the best fitting m odels,and the solid cu rves are the m ost likely red noise solu tions added to the m odels;the correspond ing residuals of each fitting are show n at the bottom,respectively.Both light cu rves and residuals are offset on the vertica l ax is for v isua l pu rp ose.

3.2 TrES-3 b

主星TrES-3的主要参数选自Sozzetti等[15].类似地,分别选取u1、u2的理论值作为高斯先验中心进行拟合,并设σ=0.5.同时,我们根据Sozzetti等[15]的表7固定选取了P值,并将e和ω固定为0,以使参数间的潜在简并度最小化.在运行TAP时,i和a/R∗的初始值和误差的大小σ取自Sozzetti等[15]的表7.我们将Rp/R∗和Tmid设为完全自由参数,对光变曲线进行拟合得到最佳值.参数初始值设置详见表5.

表5 TrES-3 b初始参数设置Tab le 5 The in itia l param eter setting of T rES-3 b

TAP拟合得到的参数值及误差见表6,观测得到的光变曲线和最佳拟合模型见图2.

同上,我们用TAP共计算了5条长度为106的MCMC链,然后合并在一起得到了最终结果和误差.经比较可见,我们得到的系统参数与之前的文献(例如文献[15,21–22]等)中的对应参数在误差范围内相吻合.

4 轨道周期和凌星主食中心时刻变化

为了方便与其他文献中的相关参数进行比较分析,利用Eastman等[32]的在线转换工具,我们将前面拟合得到的凌星主食中心时刻从基于UTC的JD转换到质心力学时标下的质心儒略历(BJDTDB).为了能够覆盖较大范围的行星主食历元以精确计算行星的轨道周期P以及分析系统中可能存在的TTV,除了我们得到的凌星主食中心时刻Tmid,我们还从文献中公开的凌星主食数据里获取了多条光变曲线的Tmid,并统一归化至BJDTDB.

利用前面得到的所有Tmid,通过最小化χ2拟合如下线性函数,我们可以得到新的行星主食历元和轨道周期P:

其中,T0为参考时间,E为行星主食历元(通常将发现该行星的文献中的主食历元定义为E=0,因而相应定义其他凌星事件的主食历元),Tc(E)为在给定历元E=0下计算得到的凌星主食中心时刻.

表6 TrES-3 b光变曲线拟合结果Tab le 6 T he resu lts of ligh t-cu rve ana lysis for T rES-3 b

为了研究行星是否存在轨道周期的长期变化,我们进行了进一步分析.近轨行星周期的长期衰减可能意味着存在对轨道能量的耗散过程,如潮汐作用等[33−34].如下二次函数给出了一个假设周期存在一个常量变化的简单模型:

该模型由Adams等[33]提出,其中δP=P˙P.

我们通过最小化χ2拟合(2)–(3)式中的最佳参数,通过由Markwardt[35]基于IDL语言的MPFIT程序包实现的Levenberg-M arquardt最小二乘算法进行求解.之后进行比较时,我们用贝叶斯信息判据(BIC)选择最佳模型,即:

其中,k为自由参数的个数,N为拟合数据点的个数.拥有最小BIC值的模型即为我们采用的最终模型.

4.1 WASP-43 b

上述观测数据处理和光变曲线拟合的方法、过程及所用软件都与Jiang等[11,21]基本相同.为了保证数据获取方法的一致性从而提高计算结果的精度,我们选取了Jiang等[11]中表5的凌星主食历元和Tmid(包括Gillon等[6]的22组、Chen等[10]的1组、Maciejewski等[36]的2组、Murgas等[9]的1组、Ricci等[37]的5组和来自Jiang等[11]的8组),结合我们上面得到的第1组(第2组数据由于天气等因素影响误差较大,在此处没有被采用),以及Hoyer等[12]的9组、Stevenson等[38]的6组和Hellier等[1]的1组,共有56组数据进行了拟合,结果如下:

对于(2)式所示的线性拟合,最佳拟合值为:

图2 TrES-3 b凌星的光变曲线和最佳拟合模型,不同的光变曲线已在图上标明.各符号意义同图1.Fig.2 T he transit ligh t cu rves of T rES-3 b and the best fitting m odels.Each ligh t cu rve is m arked in the figu re.The sym bo ls have the sam e m ean ings as in Fig.1.

(1)T0=(5528.8686±0.00003461)(BJDTDB−2450000);

(2)P=(0.81347403±2.657×10−8)d;

(3)χ2=514.21834(自由度为54),故BIC=517.71.O−C的标准偏差约为44 s.

对于(3)式所示的二次函数拟合,最佳拟合值为:

(1)T0=(5528.8686±0.00003508)(BJDTDB−2450000);

(2)P=(0.81347405±4.214×10−8)d;

(3)δP=(−1.353×10−10±4.418×10−11)d·epoch−2,因此˙P=δP/P=(−0.005248± 0.001714)s·yr−1;

(4)χ2=511.00842(自由度为53),故BIC=516.25.O−C的标准偏差约为44 s.

由上可见,综合考虑到我们的数据和最新的文献数据,对WASP-43 b的凌星主食中心时刻Tmid的拟合结果略倾向于二次曲线模型,即我们倾向于认为在对现有数据的分析中存在长期的TTV即轨道衰变,但是二者的BIC差别较小.我们拟合采用的数据及拟合的O−C结果见表7,数据在O−C上的分布见图3.经比较可见,通过线性拟合得到的周期P在误差范围内与之前文献(例如[6,10–11]等)是相吻合的.对于二次曲线拟合的结果,由于我们用以拟合数据的时间跨度长达2300多个凌星主食历元,类似于Jiang等[11]和Hoyer等[12],比Blecic等[7]、Chen等[10]和Murgas等[9]拟合所用的1000个左右长出一倍多,因此我们对δP的拟合结果也与前者相近,比后者小一个量级左右,这对应了不同量级的轨道衰变率.关于行星轨道衰变的详细讨论见下节.

为了寻找系统中是否存在周期性的TTV以搜寻系统中的其他天体,我们参照Lee等[18],对WASP-43 b的O−C在奈奎斯特频率(Nyquist frequency)范围内的频域中使用了离散傅里叶变换程序PERIOD 04[39],发现频率的最高峰值为0.002816,对应振幅的信噪比为2.6.观测分析[40]和数值模拟[41]的经验结果表明,振幅的信噪比至少需要达到4.0才能够给出良好可信度,而该信噪比不能达到此确认标准.因此我们倾向于认为:对现有数据的分析显示,在WASP-43系统的O−C分布中尚未发现明显的周期性TTV信号.

对于两颗行星处于j:(j+1)平运动轨道共振(MMR)中的情况,Agol等[42]给出了能够估算凌星中心时刻受引力扰动变化的大致幅度δtmax的解析式:

其中,mpert和mtrans分别为伴星和凌星行星的质量,P为凌星行星的轨道周期.对于WASP-43系统,由O−C的标准偏差44 s、前文计算得到的周期P=0.81347403 d以及WASP-43 b的质量mtrans=2.034MJup[6],其中MJup为木星质量,可以得到:在WASP-43 b的1:2共振位置附近可能存在的行星的最大质量mpert≤1.826M⊕,其中M⊕为地球质量.在更高阶的共振位置附近,可能存在的行星的最大质量更大.

4.2 TrES-3 b

类似地,我们选取了Jiang等[21]表4的凌星主食历元和Tmid(包括Sozzetti等[15]的8组、Gibson等[16]的9组、Colon等[43]的1组和Jiang等[21]的5组)以保证数据获取方法的一致性,结合我们第3节得到的前2组(后2组数据由于天气等因素影响误差较大,在此处没有被采用),以及来自Lee等[18]的4组、Christiansen等[17]的7组、Sada等[44]的1组、Vaˇnko等[22]的12组和Kundurthy等[20]的11组,共有60组数据进行了拟合,结果如下:

对于(2)式所示的线性拟合,最佳拟合值为:

(1)T0=(4185.9109±0.00007960)(BJDTDB−2450000);

(2)P=(1.3061866±1.120×10−7)d;

(3)χ2=149.72572(自由度为58),故BIC=153.28.O−C的标准偏差约为62 s.

表7 WASP-43 b的凌星主食历元、凌星中心时刻以及O−CTab le 7 The p rim ary ec lipse ep och,m id-transit tim e,and O−C of W ASP-43 b

表7 续Tab le 7 Con tinued

对于(3)式所示的二次函数拟合,最佳拟合值为:

(1)T0=(4185.9109±0.00008140)(BJDTDB−2450000);

(2)P=(1.3061866±1.406×10−7)d;

(3)δP=(−5.799×10−11±9.565×10−11)d·epoch−2,因此˙P=δP/P=(−0.001401± 0.002311)s·yr−1;

(4)χ2=149.78113(自由度为57),故BIC=155.12.O−C的标准偏差约为62 s.

图3 WASP-43 b凌星主食的O−C分布及拟合模型图.其中方点为文献数据,“x”为本文数据,虚线为O−C变化的线性拟合模型,实线为O−C变化的二次函数拟合模型.Fig.3 The O−C data and fitting m odels of W ASP-43 b.T he squared dots are data from the literatu res, the cross is from th is w ork,the dashed line is the linear O−C fitting m odel,and the so lid line is the quad ratic O−C fitting m odel.

综合考虑我们的数据和最新的文献数据,由上分析可见,对TrES-3 b的Tmid的拟合结果倾向于线性模型,因此我们倾向于认为:在对现有数据的分析中,没有发现明显的长期TTV或者轨道衰变.我们拟合采用的数据及拟合的O−C结果见表8,数据在O−C上的分布见图4.我们通过线性拟合得到的周期P与之前文献(例如文献[15,21–22]等)比较可见在误差范围内相吻合.

类似地,我们同样对TrES-3 b的O−C在奈奎斯特频率范围内的频域中使用了PERIOD 04以寻找系统中是否存在周期性的TTV,发现频率的最高峰值为0.04388,对应振幅的信噪比为3.2,不能达到信噪比大于4的确认标准.因此我们倾向于认为:对现有数据的分析显示,在TrES-3系统的O−C分布中尚未发现明显的周期性TTV信号.

对于TrES-3系统,根据(5)式,由O−C的标准偏差62 s、前文得到的周期P= 1.3061866 d以及TrES-3的质量mtrans=1.910MJup[15],可以算得:在TrES-3 b的1:2共振位置附近可能存在的行星的最大质量mpert≤1.504M⊕.在更高阶的共振位置附近,可能存在最大质量更大的行星.此外,TrES-3系统中观测到的TTV也有可能是由其主星的恒星磁场活动如黑子所引起[17−19].

表8 TrES-3 b的凌星主食历元、凌星中心时刻以及O−CTab le 8 The p rim ary eclip se epoch,m id-transit tim e,and O−C of TrES-3 b

表8 续Tab le 8 Con tinued

表8 续Tab le 8 Con tinued

图4 TrES-3 b凌星主食的O−C分布及拟合模型图.其中方点为文献数据,“x”为本文数据,虚线为O−C变化的线性拟合模型.Fig.4 The O−C data and fitting m odels of T rES-3 b.T he squared dots are data from the literatu res, the crosses are from th is w ork,and the dashed line is the linear O−C fitting m odel.

根据潮汐理论,像WASP-43 b和TrES-3 b这样的近轨凌星行星都会受到很强的潮汐耗散效应影响(例如文献[45–48]等).这种耗散效应包括行星的潮汐和恒星的潮汐,前者在行星具有较明显偏心率的情况下起到主导作用,致使行星的自转与轨道运动同步、轨道圆化和衰减,而后者在行星的轨道变圆后将继续使其轨道衰减,直到行星螺旋式运动落入其洛希极限aR=2.16Rp(M∗/Mp)1/3附近被瓦解[49−50](其中R为半径,M为质量,下标*和p分别表示恒星和行星),因为系统内的总角动量小于临界角动量,不足以使其达到潮汐平衡的状态(例如文献[1,34,51–52]等).我们观测的这两个系统,目前的轨道非常接近于圆(偏心率远小于0.1),正处于恒星的潮汐演化过程中.从当前的行星轨道衰减到洛希极限附近的潮汐演化时标代表了行星的剩余寿命.然而,这一时标并不明确,因为表征潮汐效应的恒星潮汐耗散系数在几个量级的范围内都无法确定,106<<109都是合理的[53].

其中,轨道平均运动频率随时间的变化率dn/dT表示为

其中,a为行星的轨道半长径,n=2π/P为行星的轨道平均运动频率.此式在相关潮汐频率与n相同、行星的轨道偏心率e=0、行星的自转周期与公转周期同步、主恒星的自转角速度为0的简化假设条件下成立.将根据长期观测得到的Tshift代入上式,可以推导出的最小值.

当行星系统满足行星轨道偏心率很小、处于同步自转并且行星的轨道周期小于主恒星的自转周期时(此条件对于不稳定凌星行星基本都成立),由给定的计算行星剩余寿命的理论公式为[34]:

这一时标应该与系统的演化时标以及已知热木星群体的演化统计分布相符.根据对环绕存在表面对流区的主星运行的、处于圆轨道的凌星系外行星的群体研究,Penev等[54]认为≥107给出的剩余寿命的统计概率分布具有99%的可信度.

此外,根据经典的潮汐理论,假设行星的偏心率为零,Rodr´ıguez等[56]推导的行星轨道半长轴的平均变化可修改为:

其中,k∗和Q∗分别代表恒星Love数和潮汐质量参数,本文使用修正后的恒星潮汐质量参数≡3Q∗/2k∗.

5.1 WASP-43 b

由(8)式,假设Q0∗分别为105、106、107、108、109时,使用Gillon等[6]给出的系统轨道和物理参数,可计算出WASP-43 b的剩余寿命分别为0.85 M yr、8.5 M yr、85 M yr、850 M yr和8.5 Gyr.对(9)式使用RKF(Runge-Kutta-Fehlberg)算法进行数值积分,给出了WASP-43 b的轨道半长径随时间的衰减曲线如图5,由此可得对应于=105、106、107、108、109时,WASP-43 b被潮汐瓦解的时间分别为:1.2 M yr、12 M yr、120 M yr、1.2 Gyr、12 Gyr,这与理论计算得到的演化时标相一致.如果采用Penev等[54]的结论≥107,则WASP-43 b的剩余寿命大约为100 M yr到10 Gyr之间.

图5 WASP-43 b在不同情况的潮汐演化曲线.下方直线代表洛希极限.Fig.5 T he tida l evo lu tion cu rves of WASP-43 b with d ifferen t.T he horizon ta l line below is the Roche lim it.

5.2 TrES-3 b

图6 TrES-3 b在不同情况的潮汐演化曲线.下方直线代表洛希极限.Fig.6 The tida l evo lu tion cu rves of T rES-3 b with d ifferen t.T he horizonta l line below is the Roche lim it.

6 总结与展望

我们使用紫金山天文台盱眙近地天体望远镜对WASP-43 b做了2次凌星主食的测光后续观测,对TrES-3 b做了4次凌星主食的测光后续观测.我们进行了数据处理和较差测光,然后按凌星模型对光变曲线进行了拟合,分别得到了两个系统的相关物理参数并与之前的文献结果比较,发现在误差范围内相吻合.结合多篇文献中的数据,我们对两个系统凌星中心时刻的O−C分别作了线性和二次函数拟合,根据线性拟合得到了行星的轨道周期及TTV并进行了讨论.我们在两个系统中尚未发现明显的周期性TTV信号,并给出了WASP-43 b和TrES-3 b的1:2轨道共振位置上可能存在行星的质量上限分别为1.826和1.504个地球质量.通过二次函数拟合,我们尚未发现TrES-3 b存在长期TTV即轨道衰变;而证认了WASP-43 b可能存在轨道衰变,并得到WASP-43 b的轨道衰变率˙P=(−0.005248±0.001714)s·yr−1,与文献[12]的结果相一致,而比早期文献[7,9-11]结果小一个量级.据此,我们还计算出了WASP-43系统的恒星潮汐质量参数下限为≥1.5×105.最后,我们分别对两个系统中不同的值进行了计算和模拟,给出了行星相应的剩余寿命.

本文中的观测使用的盱眙近地天体望远镜的CCD为4K×4K像素,角分辨率为1.70500/pixel,读出时间约为43.2 s,因此在时间和空间上都存在欠采样的问题,导致系统误差较大,测光数据质量欠佳.现在盱眙近地天体望远镜的CCD已经升级为10K×10K像素,在部分读出模式下读出时间能达到20 s左右,因而采样率得到了较大的提高,能够较好地提升测光数据质量.另外,采用散焦技术进行观测能够降低仪器效应的影响,提高测光精度[57−60].因此,我们今后计划继续利用近地天体望远镜,采用散焦技术对有价值的凌星目标进行后续测光观测和TTV的相关研究.

对于凌星系外行星来说,潮汐效应对其具有很大影响,而通过长时间基线的凌星观测能够确定出恒星潮汐质量参数下限,并用来研究系统的动力学演化历史和未来,由此可增进人们对系外行星系统的动力学演化过程的理解,因而具有重要意义.我们将继续与观测相结合进行此方面的动力学研究.

致谢紫金山天文台赵海斌研究员为本文的观测提供了支持和帮助,云南天文台王晓彬研究员在数据处理等方面给予了指导和帮助,在此向他们表示感谢.

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[60]Tan H B,W ang X B,G u S H,et a l.ChA&A,2014,38:307

Transiting P rim ary Eclipse Photom etric Follow-up Observations and Transit T im ing Variations Stud ies of WASP-43 b and TrES-3 b

SUN Zhao1,2JIJiang-hui1,3DONG Yao1,3

(1 Pu rp le M oun tain O bserva to ry,Chinese A cadem y of Sciences,Nan jing 210008) (2 Un iversity of Chinese A cadem y of Scien ces,Beijing 100049) (3 K ey Labo ra to ry of P laneta ry Scien ces,Chinese A cadem y of Scien ces,Nan jing 210008)

Two photometric follow-up observations for transiting prim ary eclipse of WASP-43 b and four for TrES-3 b are performed using the Xuyi Near-Earth Ob ject Survey Telescope.A fter differential photom etry and light curve analysis,physical parameters of the two systems are obtained and are in good match with the literatures. Combining with transit data from many literatures,the residuals(O−C)of observations of both systems transits are fitted with the linear and quadratic term s.with the linear fitting,the periods and transit tim ing variations(TTVs)of the p lanets are obtained,and no obvious periodic TTV signal is found in either system after analysis.The maximum m ass of perturbing p lanet located at 1:2m ean m otion resonance(MMR)of WASP-43 b and TrES-3 b are estimated to be 1.826 and 1.504 Earthmass,respectively. By quad ratic fitting,it is con firm ed that WASP-43 b may have long-term TTV which means an orbital decay.The decay rate is shown to be˙P=(−0.005248±0.001714) s·yr−1,and is com pared with the p revious resu lts.Based on this,the lower lim it of the stellar tidal quality parameter ofWASP-43 is calculated to be≥1.5×105,and the remaining lifetime of the p lanets of both system s is p resented for differentvalues accordingly.

astrometry,planetsand satellites:dynam icalevolution and stability,stars: individual:WASP-43,TrES-3,methods:observational,m ethods:num erical

P125;

A

10.15940/j.cnki.0001-5245.2016.06.007

2016-04-27收到原稿,2016-05-16收到修改稿

∗国家自然科学基金项目(11273068,11473073,11303102,11573073)、中国科学院战略性先导科技专项(B类)(XDB09000000)、中国科学院新兴与交叉学科布局试点项目(KJZD-EW-Z001)及紫金山天文台小行星基金会资助

†sun zhao 0@hotmail.com

‡jijh@pm o.ac.cn