三角函数等式的种种证法

湖北省黄冈市武穴市双城中学 高雪云

在三角函数证明里，大多数情况需要证一恒等式，证明方法因题而异，具体问题具体分析，则针对三角函数的证明方法不外乎以下几种。

一、证明三角函数等式一般的三种方法

1.如果需证三角函数等式只含同角三角函数，则可以从变化函数入手，即尽量把等式中所含不同的三角函数都化为正弦函数和余弦函数，或全化为某一函数，虽然能达到最终目标，但这种方法不一定是最简单的。

2.若需证三角函数等式证明中含有不同角的三角函数，则宜从角的简化入手，尽量化复角为单角，或者减少不同角，以便能使用某一公式进行变形。

例1.求证： cos5A+sin2Asin3A=cos2Acos3A

证明:原式左边=cos（2A+3A）+sin2Asin3A

=cos2Acos3A-sin2Asin3A+sin2Asin3A

=cos2Acos3A=右端

此题属于含不同角的三角函数证明，则可采取全部化为单角A的函数，但方法太繁，若只减少不同角，则可将5A化为（2A+3A），当然此处选择（2A+3A）而不选用（A+4A）呢？这是根据此题的实际情况，只涉及到2A与3A的三角函数。因此，举一反三可证明例2。

例2.求证:cos（n-1）AcosA-cosnA=sin（n-1）AsinA

按前面所述，上题也为不同角的三角函数的等式证明，当然从减少不同角入手，因而可受上面方法的启发，用一样的方法思考来证明公式，而有：

证明：原式左边=cos（n-1）AcosA-cos[（n-1）A+A]

=cos（n-1）AcosA-cos（n-1）AcosA+sin（n-1）AsinA

=sin（n-1）AsinA=右端

这种证法可总结三个步骤为：

（1）减少不同角，配出和差角；

（2）展开和差角公式；

（3）简化得解；

从这类例子中，掌握了“加同一量与减同一量结果不变”这一原则，就可以把非和差角的函数或不合乎解题要求的和差角函数代换为我们所要求的和差角函数，而得出解来。

3.在证明三角函数等式中，“1”出现的频率很高，则可把“1”代换为sin2α+cos2α或tg450以及ctg450等，也可以将等式中某项常数或整个等式的

一端乘以（或除以）sin2α+cos2α或tg450以及ctg450等

二、运用三角函数公式来证明

三角函数这一章里公式繁多，公式的运用在三角函数证明里有举足轻重地作用，这也必使我们在理解地基础上，才有可能灵活地运用公式，死记硬背当然也可解决一些问题，但对较繁的题或解法有技巧的题，无能为力了。那么，我们总结使用某一组公式证明等式的规律，这样作可以防止我们证明等式是由于心中无数而产生回避的毛病，就运用和差化积公式证明而言，对证题步骤作以下的归纳对比，不难发现其运用范围，遇到这种类型问题，也就迎刃而解了，下面举例说明。

例4.已知：A+B+C=1800，

通过再次归纳，显然使我们发现和差化积公式作恒等变换的规律为

“化积—化简合并—再化积—再化简”的有限次重复。也就是“代换化积公式与化简合并”交替进行。运用和差化积证明只是三角函数证明中的一个缩影，当我们掌握了公式的特征，并且需依据题目的内容及形式选用公式。

三、条件等式及边角等式的证明方法

1.条件等式都是在给定条件下来证明等式成立，较普遍的如限制等式中的角为三角形的三内角；或是由根式而给出角的存在范围，以便在去根号时确定符号，这类等式的证明实质上所给条件仅是确定定义域 或代换角，故证题时只要能抓住这一点，在需要由定义域来解决问题时或需要代换角时把条件应用上就可以。

2.边角等式，实质上也是条件等式中的一种，它的特点是限制在三角形边角元素条件下成立，并以三角形的边及角的三角函数用运算关系组合而成，证明方法常用的方法：一种是用三角形的边角关系式，一般指正弦定理，余弦定理，等等来代换原等式中的三角函数为边元素，使原等式变形为全含边元素组成的代数恒等式之后，再使用代数等式证明的方式解决；另一种是把原等式中的边元素用边角关系式代换为三角函数，使原等式中边元素全部消去而得一新的三角函数等式，在依靠证明三角恒等式的方法解决。

以上浅谈了三角函数的证明的基本方法，那么我们针对某一题从不同的角度与着眼点按条件引用恰当公式进行解题，这样可不但锻炼我们的恒等变换能力外，而且能巩固基本知识，同时发展思维，培养综合解题能力。

当然，在当今社会，而创新能力是其中为重要的素质，所以在三角函数的证明过程中，要不断地创新，不局限古板的方法，根据题目的本身的特点，运用适合的证明方法，具体问题具体分析，以达到能够采用最简便的证明方法。