什么是好的数学教学活动——从《美国数学核心课程标准》的实践标准看

◇邓惠平 张春莉 王 倩

什么是好的数学教学活动
——从《美国数学核心课程标准》的实践标准看

◇邓惠平 张春莉 王 倩

2012年，美国州长协会最佳实践中心和美国州首席教育官员理事会共同制定了《美国数学核心课程标准》。该标准分为内容标准和实践标准两部分，两者分别对相应学段的数学课程学习内容和数学课程实践路径进行了界定。具体而言，其实践标准主要有以下八点：（一）理解问题并坚持解决问题；（二）抽象推理和量化的思想；（三）合理地论证并批判性地看待他人的推理过程；（四）数学建模；（五）策略性地使用适当的工具；（六）注重精确性；（七）寻找和利用结构；（八）在反复的论证中寻找并表示规律。

上述实践标准的出台对美国数学教学的改革具有一定的指导意义，对我们思考“什么是好的数学教学活动”也具有较好的参考价值。因此，以下将结合美国的上述实践标准及美国数学课堂教学的实例来探讨什么是好的数学教学活动。

一 从《美国数学核心课程标准》的实践标准看：什么是好的数学教学活动

结合美国相关机构（Educational Research Service，2004)的研究，好的数学教学活动应该满足以下几方面的要求。

第一，就学习目的而言，好的数学教学活动应能为学生提供学习的机会及创新和实践的机会。这一要求应包含以下两方面的含义：一方面，好的数学教学活动要能为学生提供学以致用的机会，教师鼓励学生学习新知识并创造性地在实践活动中使用新知识；另一方面，教师要引导学生意识到学与用在时间上并不存在绝对的先后关系，鼓励学生边学边用，使学生在解决问题的过程中学习并掌握数学概念和解决问题的技能。

以数学模型思想为例，教师不仅要引导学生对现实情境中的问题进行数学化的抽象与概括，运用所习得的数学符号建立相关的数学模型，还要引导学生对建立的数学模型加以验证，并运用验证后的模型创造性地解决现实生活中相关的、类似的问题。也就是说，教师不仅要引导学生经历建立模型的过程，还要鼓励学生应用模型思想解决现实问题。总的来说，教师应引导学生学习知识并鼓励学生学以致用、边学边用。

第二，就学习内容而言，好的数学教学活动应该既关注知识的传授，又关注能力的培养。教师既要引导学生掌握数学知识的概念和含义，注重对学生数感的培养，又要引导学生提升解决问题的能力，鼓励学生成为问题的解决者，让学生将数学看作一门重视思考的学科。

第三，就学习方式而言，好的数学教学活动应重视学生学习的个体建构与社会建构相结合。一方面，好的数学教学活动应能充分调动学生的主观能动性，鼓励学生思考问题并积极、独立地解决问题；另一方面，好的数学教学活动要为学生提供在小组内学习的环境，鼓励学生在小组内的交流与讨论中实现思想的碰撞，在全体参与的汇报中进行观点的分享。

第四，就学习工具而言，好的数学教学活动应实现传统学具与多媒体的有机结合。我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术……把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”因此，一方面，教师要充分意识到现代信息技术对学生学习的促进作用，合理利用多媒体为学生的数学学习活动服务；另一方面，教师要承认传统学具具有多媒体不可替代的优势（如能为学生提供更加真实的动手操作的实际体验），实现传统学具与现代多媒体信息技术的有机整合。

二 美国数学课堂教学片段呈现

以上介绍了《美国数学核心课程标准》的实践标准对数学教学活动的要求，那么这些实践标准在美国小学数学教学中是如何实施的呢？接下来将摘取美国网站（Inside mathematics）上的一些小学数学教学片段，以使大家更好地理解《美国数学核心课程标准》的实践标准在小学数学教学中的具体实施过程。

教学片段1：理解分数。

以美国小学五年级数学课“理解分数”为例，这堂课要求学生回顾对概念的理解，并从不同角度批判性地检验学习任务。不同于简单的概念复习课，该课强调“等值”的概念，与《美国数学核心课程标准》的内容标准中“利用等值分数进行分数的加减”这一条要求紧密联系。教学目标如下：①建构整体的分数部分；②区分整体和部分并用分数表示整体和部分的关系；③掌握分数形式的转化；④理解分子和分母的含义。

教师凯恩斯（Michelle Kious）在正式授课前，呈现了一个馅饼模型图和不同学生写出的这三个分数（如图1），让学生在小组内讨论，要求学生说出认同哪一个分数并说出原因，学生表达观点时需采取相同的句子结构，即“我同意……（的观点），因为……”。

图1

随后，学生给出了不同的回答：有的学生认为每个馅饼有等量的3份，阴影部分占其中的7份，因此应该用表示；有的学生认为图中的馅饼被分成等量的9份，阴影部分占其中的7份，因此应该用表示；还有的学生认为图中阴影部分包括前2个馅饼和第3个馅饼的因此应该用表示。对于学生的不同观点，教师并没有立即点评，而是引导学生思考以下两个问题：

教师要求学生继续思考和讨论。

结合学生的回答，教师引导学生得出以下结论。

教学片段2：比率。

教师卡当（Joe Condon）在教六年级数学“比率”一课时，提出问题“什么是比率”，并要求学生举例说明，以了解学生对比率的理解。随后，教师相继出示了两个问题。（1）在20秒内，乔伊（Joe）能数30颗豆子，莎拉（Sarah）能数25颗豆子，亚历克斯（Alex）能数40颗豆子。请问谁数得最快。（2）数30颗豆子，乔伊（Joe）需要20秒，莎拉（Sarah）需要24秒，亚历克斯（Alex）需要15秒。请用比率表示每个人的速度，并指出谁数得最快。教师鼓励学生思考这两个问题，在纸上用比率的形式写出自己的答案，并与同桌进行交流。

针对第一个问题，有学生指出在相同时间内亚历克斯数的豆子最多，因此亚历克斯数豆子的速度最快；还有的学生指出，亚历克斯每秒能数2颗豆子，但另外两人每秒分别数1.5颗豆子和1.25颗豆子，因此亚历克斯的速度最快。针对第二个问题，大多数学生认为应该用“30颗豆子/20秒”“30颗豆子/24秒”等“30颗豆子/××秒”的比率形式来表示速度，只有一位学生指出用“××秒/30颗豆子”来表示速度；还有的学生通过对这两种速度表示方式的观察指出：如果采取“秒/颗”的单位，那么比率最小的人数得最快；如果采取“颗/秒”的单位，则比率最大的人数得最快。

教学片段3：数字图像的多种表现形式。

教师迪克森（Fran Dickinson）在教小学高年级“数字图像的多种表现形式”一课时，其教学目标包括利用“猜猜我的规则”数字讨论活动激活学生已学的有关图形表示的知识。教师以“猜猜我的规则”这一活动导入新课。这一活动规则是：教师先让学生在0至10的范围内（包含0和10）随机输入x（整数），然后教师根据同一个规则输出对应的y，并让学生在平面直角坐标系中标出点（x，y)。在三次操作后得到图2：

图2

随后，教师和学生共同讨论，提出如下两个问题：（1）y的值是否可能为0？（2）当y的值为12时，x的值是多少？

针对第一个问题，有的学生指出y的值比 x的值大，y的值为0时x为负数，因此y不可能为0；有的学生指出x与y可能存在3的倍数关系，y的值为0时x可能为负数，因此y的值不可能为0；也有不少学生通过观察指出y的值比x的3倍小3，因此当y为0时，x=1。针对第二个问题，学生指出y为12时，x的值是5，并通过小组讨论提出用“x3－3”“3x－3”“3倍减3”等方式表示 x与y的关系。

三 美国数学课堂教学片段分析及启示

从教学片段1的教学过程可以看出：教师通过教学示例，让学生明确整体“1”对于分数表示的意义，认识到分数单位的重要性，从直观分析的角度而非分数化简的角度认识带分数和假分数的等值性。教师在教学中强调学生对问题的理解，注重学生观点的交流与分享，并结合学生的年龄特点，利用直观图像帮助学生学习和理解分数，较好地阐释了实践标准中“理解问题并坚持解决问题”这一要求。与此同时，教师要求学生阐述观点时使用“我同意……（的观点），因为……”，这体现了实践标准第六条“注重精确性”的要求，鼓励学生能在与他人交流的过程中准确表达观点，注重学生交流表达的逻辑性和严谨性。

在教学片段 2的教学过程中，教师提出问题“什么是比率”，鼓励学生用不同的方式表示比率，这有助于教师了解学生对比率的掌握情况，并明确学生的问题所在。与此同时，教师鼓励学生用不同的方式表示比率，也体现了对学生思考和解决问题方式多元化的尊重与鼓励。随后，教师选取了贴近学生生活实际的例题，要求学生在纸上用比率的形式表示数豆子的速度，并思考不同单位形式对于衡量速率的意义。通过例题，教师使学生认识到速率存在着多种表现形式，速率的单位不同，比率表示的意义也不相同，使学生充分意识到利用单位描述比率的重要性，这有利于发展学生“从具体到抽象，再从抽象到具体”的情境化和去情境化的能力，有助于培养学生量化的思想；通过引导学生关注数量背后的意义并灵活运用，较好地体现了实践标准第二条“抽象推理和量化的思想”的要求。

就教学片段3的导入活动而言，由于输入的数是随机的，并没有按一定的顺序输入，因此学生在寻找x与y的规律时，需要对数的顺序进行整理才能更好地发现规律，这有利于培养学生的数据整理能力。与此同时，教师引导学生对“y的值是否可能为0”进行思考，这可为学生后期学习定义域、值域奠定一定的基础。教师考虑到学生的年龄特点，鼓励学生根据表格中的数据进行逻辑推理和论证。教师鼓励学生在小组讨论中分享自己的猜想并进行逻辑推理，在交流中不断完善自己的观点。总的来说，教师的教学过程与学生的学习过程较好地体现了实践标准第三条“合理地论证并批判性地看待他人的推理过程”的要求。

尽管这三个教学片段存在教学内容的差异，但不难看出三者体现的教学行为存在着诸多共同点。比如，教师都重视选择适宜的学习材料，以促进学生的学习；教师在教学过程中都十分重视合作学习，鼓励学生进行小组学习，共同探讨问题；教师都较为注重提问的作用，强调通过提问启发学生的思维，引导学生讨论教学内容等。

总的来说，教师应加强哪些教学行为或减少哪些教学行为，以更有利于实现好的数学教学活动呢？如表1所示。

表1

以上结合《美国数学核心课程标准》的实践标准及美国数学课堂教学片段，对“什么是好的数学教学活动”进行了初步探讨和分析。如何借鉴国外课程改革的优秀经验，进一步推进我国课程改革，这仍是有待我们进一步思考和回答的问题。

[1]NGA，CCSSO.Common Core State Standards for Mathematics[EB/OL].http://www. corestandards.org/Math/Practice/，2010/2016.

[2]The Silicon Valley Mathematics Initiative.Inside Mathematics[EB/OL].http://www.insidemathematics.org/,2016-01-24.

（作者单位：北京师范大学教育学部）

本文系北京市教育科学“十二五”规划重点课题“专家教师原型观下课堂教学执行力的提升”（AIA15226）的研究成果】