函数之间的类比

唐　烁，　苏化明

(合肥工业大学数学学院,合肥230009)



函数之间的类比

唐烁，苏化明

(合肥工业大学数学学院,合肥230009)

[摘要]通过实例给出了函数类比的几种形式：双曲函数与三角函数的类比；三角函数之间的类比；反函数与函数的类比.

[关键词]类比； 三角函数； 双曲函数； 反函数

类比是特殊到特殊的思维方式,是根据两个(或两类)所考察的对象之间在某些方面有相同或相似的属性,并且其中一个对象还有另外的某种属性,从而推出另一个对象也具有相同或相似的该种属性的思维方式.类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉,也是探索解题思路的重要途径,故类比思维是创新思维的形式之一.作为高等学校的数学教师,我们希望在数学教学中通过类比思维的传授,能引导学生去猜测、预见,能在学习过程中提出新问题,作出新发现.

类比的形式有多种多样,作者曾在[1]中介绍了高等数学中类比的几种主要形式：低维与高维类比；离散与连续类比；有限与无限类比；微分与积分类比.作为[1]的补充,本文将介绍函数与函数的类比.

大家知道,双曲函数与三角函数在性质上有很多相似之处,因而双曲函数可以同三角函数作类比.事实上,高等数数中涉及到的很多函数特别是基本初等函数之间存在很多可以类比的问题,我们将从以下几个方面通过实例予以说明.

1双曲函数与三角函数的类比

(1)

类比:求证.当x≠0时,

(2)

证为了节省篇幅,仅证类比产生的结论,以下各例相同.

令

则

由算术-几何平均不等式知

所以当x≠0时,f′(x)>0,f(x)单调递增.又f(0)=0,因此f(x)>0,由此可知不等式(2)成立.

(3)

(4)

(5)

(6)

证由此

从而

即不等式(6)成立.

2三角函数之间的类比

例3[3](陕西省大学生数学竞赛题,1985年)设

试证：(a) αn≥βn≥0; (b) 当n→∞时，αn→0,βn→0.

(i) an≥bn; (ii) 当n→∞时，an→0,bn→0.

f′(x)=ntann-1xsec2x-sec2xn·nxn-1.

tann-1x≥xn-1,cosx≤cosxn,sec2x≥sec2xn,

从而f′(x)≥0,f(x)单调递增.又f(0)=0所以f(x)≥0,即tannx≥tanxn,利用定积分的性质,所以

即an≥bn, n=1,2,…;

(7)

an≤an-2,n=3,4,….

(8)

由(7),(8)知

解(c) 所论问题等价的转化为考虑集合

和U在映射

φ(u)=arctanu1+arctanu2+…+arctanun

下的像φ(U).注意到φ(U)=Tn.因为U为n的连通子集,φ是连续函数,所以φ(U)也是连通的.由于中唯一的连通子集是区间,所以Tn是区间.

(9)

由此知

(10)

由上式知

(11)

利用(10),(11),所以

注不等式(9)可用函数的单调性给出证明.

3反函数与函数的类比

类比：试证：对于所有的x∈(0,1)有不等式

(12)

证首先证明,当0

(13)

故由不等式(12)知,当0

所以

其中右边不等式中等于当x=1时成立.

例6[5](第六十九届美国大学生数学竞赛题,2008年)设

解

故由归纳法原理知

从而

即

[参考文献]

[1]苏化明,潘杰,唐烁.高等数学思想方法选讲[M].北京：高等教育出版社,2013.

[2]B A萨多夫尼奇,A C波德阔尔金.前苏联大学生数学奥林匹克竞赛题解(上篇)[M]. 许康,陈强,陈挚,陈娟，编译.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2012.

[3]1985年陕西省高校数学竞赛试题(2)[J].数学学习,1985,3:23-25.

[4]王丽萍，编译. 历届IMC国际大学生数学竞赛试题集[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2012.

[5]The Sixty-Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition[J]. The Amer. Math. Monthly. 2011, 118(8):719-728.

[收稿日期]2014-11-12

[基金项目]安徽省重大教学改革项目(2015zdjy020)；“受高等学校大学数学教学研究与发展中心”资助

[作者简介]唐烁(1964-)，男，教授，从事大学数学教学、应用数值逼近研究. Email: tangshuo-2008@163.com

[中图分类号]O13

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2016)02-0068-05