中美两本经典微积分教材的比较分析与借鉴

王华昌　杨志鹏　范卓

摘 要 通过对中外两本微积分教材的在章节设置、讲解风格、练习应用实例，前言等方面的比较，分析两本教材的各自特点，并提出教材要有针对性、转变应试教育观念、实行分专业分层次教学等一些值得思考的观点，为高等数学教学改革提供一些启示。

关键词 高等数学 微积分读本 比较分析 借鉴

中图分类号：O172 文献标识码：A

0引言

微积分作为大学里的课程已经有100 多年的历史了，其教学方式一直没有多大的变化，到20 世纪80 年代，中外有些数学家要求对微积分进行改革的呼声越来越高，在深刻反思了传统微积分教学的弊端后，中、 美对微积分教学进行了大规模的改革，产生了一批新型的微积分课程。其中具有代表性的就是一批优秀教材的诞生，其中同济大学编写、高等教育出版社出版的《高等数学》和Adrian Banner编著的《微积分读本》分别是在此次背景下产生的国内外最为经典的教材之一。同济版《高等数学》1首版为1978 年，至今已经历6个版本，第六版是普通高等教育“十一五”国家级规划教材。本书最初的目标是作为高等学校工科数学课程的试用教材或教学参考书。从第四版开始，目标调整为符合大多数院系的需要，对一部分内容进行了增删。第五版开始增加了应用方面的内容，在例题和习题中增加了经济管理、日常生活等内容。第六版对教材的定位进一步调整，以适应各类高校工科类本科专业根据不同的教学要求实施分层次教学的需要。从历史沿袭而言，本书是为高等院校工科类各专业修订。本书作为理工类的经典教材，还是有不少学校在借用其为经管专业的教材或参考书。Adrian Banner 编著的《微积分读本》2010年第一版发行。本书源于美国普林斯顿大学Adrian Banner的微积分复习课程。本书重点在于创建问题求解技巧，所涉及的例题由简单到复杂并对微积分理论进行了深入的探讨，本书的特点：洋溢着非正式的娱乐性的但非强求的对话语境风格；丰富的在线视频；大量的精选例题提供了一步一步的推理过程等等。本书将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起。

1两本教材的比较分析

1.1前言的比较

同济版《高等数学》前言主要是介绍与前一版相比做了哪些修改，以及根据广大同行和读者在教学实践中的意见和建议，进行局部修订，前言之前有个内容提要，对本书的内容和特点进行简单的介绍。《微积分读本》相比较而言，就很人性化，在前言部分介绍了读者可能想知道的所有问题。如本书为什么这么长；阅读本书前需要有哪些基础知识；定理的证明在哪找；本书提到的有关资料在哪找等等。另外还介绍了如何使用本书备考，两个通用的学习小贴士（具体的学习方法）。从读者的角度来看，《微积分读本》更贴近读者，回答了读者更加关心的问题。

1.2两本教材的章节内容设置的比较

从纯数学理论的角度来看，两本所涉及的知识点比较接近，基本内容大体相同：一元函数的微积分；无穷级数；常微分方程。差别在于：Adrian Banner 编著的《微积分读本》教材的没有平面解析几何知识，多元函数的微积分部分，专辟章节结合积分计算介绍了初等超越函数（指数函数、对数函数、反三角函数）的概念，这可能与其中学数学的课程设置及衔接有关，用积分定义对数函数并用其反函数定义指数函数也有特色；无穷级数部分，国外教材都没有傅里叶级数的内容，可能在其他课程中介绍。从数学理论的深度来看，国内外教材相差不大，部分内容国外教材叙述稍深些。从相同知识点设置章节看《微积分读本》明显多于《高等数学》，讲解更细起点更低。比如：定积分，《高等数学》列为一章共五节，分别为：定积分的概念与性质；微积分基本公式；定积分的换元法和分部积分法；反常积分；反常积分的审敛法 函数。《微积分读本》分为七章，三十五节（二级标题），有的节又下分若干小节（三级标题）。所以同样的内容，《高等数学》大概用了三百多页，而《微积分读本》用了六百多页。《微积分读本》通过大量实例说明导数作为函数变化率的实际意义，给学生印象深刻，将极值问题与简单的数学建模紧密结合引进有实际背景的应用问题 对提高学生应用导数解决实际问题的能力有帮助，本教材要多一些向量值函数的导数及其物理意义的介绍，突出等量线面，梯度等概念和向量值函数的应用， 突出对条件极值和拉格朗日乘子法的几何解释，应用内容和术语较现代，与实际背景的联系比较紧密

1.3讲解风格的比较

《微积分读本》2教材文字通俗易懂， 图文并茂、 语言生动幽默、形式活泼，洋溢着非正式的娱乐性但非强求的对话语境风格；教材可读性强，在教材内容和教材呈现形式上很好地体现了为迁移而教的目标，积极地确保学生能形成良好的认知结构。《高等数学》经过几次修订对教材的深广度进行了适度的调整是学生都能达到合格的要求，并设置部分带“*”号的内容以适应分层次教学的需要；吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了调整和充实，以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力。但是中外微积分最主要的差别在于：是外文教材更重视数学思想的引入，而不拘泥于数学概念以及逻辑上的严谨，有时候书中出现的概念可能是不太严格的，但在数学上并没有错误。鼓励学生直观形象地思考问题，把加强解决问题的方法和技能的训练作为重点。由于直观的、面向应用的内容更多，学生理解起来相对容易。值得一提的是，外文教材也并非不关注数学的严谨，它只是把一些更严格的论证或理论上有意义但是比较难懂的例子放在了探索性的习题中或者教材后的附录里，方便感兴趣的学生去阅读。外文教材特别重视数学的应用，注重实际问题的建模，总会有单独的章节来介绍某个概念或者法则的运用，并且涉及到自然科学、社会科学以及工程技术等广泛领域。国内教材更注重知识的完整性，逻辑上严密。

1.4习题、应用实例方面的比较

两本教材在习题数量和类型上区别较大。《高等数学》类型多，内容丰富，覆盖面广，每章节后都有相应类型的复习题，应用实例主要是几何、物理，复习题的总题量大概两千道题左右；结合实际问题、数值计算、借助于计算机作图及一些探索性习题几乎没有。大量精选例题（从简单到复杂）提供了一步一步的推理过程，有常规计算、证明题和大量的应用题及讨论和探索题（讨论和探索题目极具启发性，为进行创新教育提供了保障）；设计新颖、风格各异的习题，可服务于特定的教学目的，满足不同能力培养的需要。有很多习题来自生活和实际科技问题。

1.5数学理论与计算机软件结合方面的比较

《高等数学》现有教材在一些数值计算和数学实验的内容介绍上，包括软件介绍上看显得比较薄弱点，与《微积分读本》相比有一定的差距，国外教材中经常穿插了大量的利用数学软件进行计算作图或其它的一些简单的数学实验或建模的问题中间穿插了较多的图片， 这些图片或用数学软件制作或来自于新闻图片精美漂亮赏心悦目，这些有助于提高学生的学习兴趣， 让学生感受到数学的美。

2对教学的启示

（1）在教材的建设上，应结合专业特点，有针对性。对于非数学专业，应注重应用。现在的情况是很多学生上完高等数学后很迷茫，不知道学高等数学有什么用，即使学了过一两年，甚至半年忘记大部分内容，很多内容回忆不起来。根本原因是在教学中没有渗透专业知识，学生感到枯燥，学习积极性不高。要改变这方面的不足，首先应与专业课程教师组建联合教研室，加强专业知识的渗透。任课教师结合专业知识，联合高等数学原理进行讲解，有助于培养学生运用数学知识分析处理实际专业问题的能力和综合素质，满足后继专业课程对数学知识的需求。其次，应通过案例教学和数学实验，将理论学习与知识应用相结合，强化培养学生既会动脑更会动手的能力。在教材中适当增加一些来源于多个领域的各种简单而有趣的数学建模材料，更加突出应用的同时增加教材的趣味性

（2）转变应试教育观念，推进评价学生考核方式的转变。学生由小学、中学到大学一路考过来，已经习惯于老师把题型和做法总结起来，然后“填鸭式”地填给他们，已经习惯于中学的应试教育了。他们更看重于 “老师的所讲内容，期末考试考不考”，更关心“我的考试及不及格”；另一方面，高校教师受一些学校教学制度约束，不得不把“重概念，重思想，重应用”的教学转化为“应试教育”。如，在有些高校实行“考教分离”的同时实行“学生选老师”、“学生评价老师”制度。在课时有限的情况下，如果侧重于讲概念和应用，势必减少对题型和方法的总结和讲解。而目前大多数学校的期末考试还是侧重于一些解题技巧的考查，这样就会使学生考试成绩不理想。在这种情况下，势必会促使教师，尤其是青年教师，尽可能多地在课堂上讲一些题型和解法，使得学生更有机会获得高分。因此，教学内容改革需要与学校教学制度改革相协调，尤其是考试制度、教师讲授水平评价制度等。

（3）实行分层次、分专业教学，提高教学质量。教学内容不分专业、不分层次，实行一刀切。各个高校的人才培养目标不同，不同专业对高等数学课程教学内容的要求也不同，所以，分层次、分专业教学非常必要。对纯数学专业的学生，需要注意教学内容的严密性、系统性，并希望学生在此基础上继续深入研究下去。对于非数学专业的学生，必须以数学的应用和应用数学为主要教学内容，在严密性和清晰性相抵触时应该选择清晰性，更重要的是要让学生理解严格的证明和不严密的、但是直观易于理解的推导之间的不同，使其明白什么情况下叙述推导是不正规的及其原因。对偏向文科的学生，不需要把定理证明全讲，可以将形象化的内容加入，注意植入一些专业知识，既保证课程的趣味性，又保证课程的实用性，使学生更容易理解一些抽象的东西，可以达到相对好的教学效果。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社.2007.

[2] [美]Adrian Banner.微积分读本[M].北京：人民邮电出版社，2010.