掌握导数符号判定的三种方法

◎代 皋

(东区中学，广东 中山 528403)

掌握导数符号判定的三种方法

◎代 皋

(东区中学，广东 中山 528403)

导数是解决函数单调性的有力工具，导数符号就是判断或求解函数单调性问题的关键.课本例题中，给出了三种常见的方法：观察法、不等式法、根分区间法.老师要指导学生进行总结归纳，从而提高学生的解题能力.

观察法；不等式法；根分区间法

导数是解决函数单调性的有力工具，导数符号的判断就是求解函数单调性问题的关键.教师在教学时，只列出用导数处理问题的几个步骤，而在导数符号判定的这一关键点上没有讲清楚，导致学生在解题时不知如何判断导数符号，影响问题的进一步解决.其实在课本例题中，给出了三种常见的方法，归纳总结如下.

一、观察法

函数f(x)求导后，导函数f′(x)的符号可以直接确定.例如课本中例题：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x，(2)f(x)=sinx-x(x∈(0,π))，求导后f′(x)=3x2+3，f′(x)=cosx-1，经过观察，导数符号在定义区间内可以直接确定.(1)f′(x)>0，(2)f′(x)<0，问题显然得以解决.

观察法是判断导数符号的首要方法，平常的教学(或解题)中，针对问题的解决，培养学生观察的习惯，而不是去单纯模仿，这对学生能力的提高是有益的.

二、不等式法

求导后，导函数为一次函数、二次函数或其他简单的超越函数，导数符号可正可负，我们可采用判定定理中的方法令f′(x)>0或f′(x)<0求解.例如课本中例习题：f(x)=2x3+3x2-24x+1,f(x)=ex-x，求导后f′(x)=6x2+9x2-24，f′(x)=ex-1，令f′(x)>0或f′(x)<0即可解决.但此法对有含参数的函数式或对定义域有限制的函数求解不好使用，可用第三种方法.

三、根分区间法

这是判断导数符号的常用方法.课本中，这一方法是在求极值的例题中出现的(即例题表格中的内容)，总结出来便是根分区间法.其方法是求导后令f′(x)=0，解出方程根，画出数轴，用根将定义域分成几个区间，根据代值检验法或图像法判断每一个区间上导数符号.

分析f′(x)=x2-4，令f′(x)=0，解得x=2或x=-2，两根将定义域(-∞,+∞)分为三个区间如下(画数轴，根在定义域内标实点，不在定义域内标空圈).

①代值检验：分别从三区间中选-3，0，3代入f′(x)得出导数符号为+,-,+.

②图像法：画出导函数f′(x)的示意图像，图像在x轴上方f′(x)为正，下方f′(x)为负.

解f′(x)=x2-4，令f′(x)=0，解得x=2或x=-2，列表如下：

x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗

所以，f(x)的增区间为(-∞,-2)，(2,+∞)；减区间为(-2,2).

函数单调性是高考重点考查的内容之一，其中含参讨论是常考题型.学生在处理这类问题时往往不知道怎样讨论导数符号，运用课本上的三种基本方法解决此类问题,思路将变得清晰自然.

例 (2015新课标全国卷文21)已知函数f(x)=lnx+a(1-x)，讨论f(x)的单调性.

①首先用观察法，可以快速定号；因为x>0，所以a≤0时，f′(x)>0；

由上可知，复习知识我们要回归课本，善于归纳总结.正如数学家华罗庚先生提出的“由薄到厚，由厚到薄”，就是不断归纳概括的学习过程.而数学教师要引导和善于指导学生进行方法的归纳.特别是高三总复习，学生几乎是陷入题海之中，之所以学生做了很多的题，学得那么辛苦，效果还是不好，原因之一就是因为教师缺少归纳总结，特别是没有带领学生对解题的规律进行归纳总结.