极限思想在初等数学中的应用

马天祥

【摘要】本文从教材内容、习题解答两方面论述了极限思想在初等数学中的应用，从而得到加强极限思想在学习实践中的应用具有重要的意义.

【关键词】极限思想；教材内容；习题解答；应用

极限是微积分学的奠基概念之一，微积分中很多概念如导数、定积分等都是由极限来定义的，另外通过极限概念的学习还要掌握、应用极限思想.用极限的思想方法分析问题、解决问题时，先构造一个与未知量有关的变量，确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算求出未知量.人教版教材中没有给出极限的严格定义，但无论是教材内容还是习题解答都大量地应用着极限思想.

一、在教材中的应用

人教版教材内容没有按逻辑关系先学习极限，而是跳过了难理解的极限概念，直接用极限思想给出了导数、定积分的定义.至于导数，教材是通过讨论气球膨胀、切线斜率等归纳引入定义的.在定义中把符号“lim”作为瞬间变化率的记法来处理的，并称它为极限.虽然没用极限来定义导数，但整个导数定义都蕴含着极限思想.以求切线斜率为例：为了求函数y=f（x）图像上在点（x0，f（x0））处切线斜率这一未知量，先找到割线斜率Δy[]Δx，当Δx无限趋近于0时，割线斜率Δy[]Δx就趋近于切线斜率.用数学语言表达为：limΔx→0Δy[]Δx=limΔx→0

个小区间上任取的一点.

二、习题解答中的应用

解答中学数学一些难度较大的习题时也可以借助极限思想，达到事半功倍的效果.下面就函数、解析几何、不等式证明、数列、立体几何五方面来说明极限思想在解题中的应用.

1.在函数中的应用

在处理有关函数问题时，应用极限思想，通过考查取值范围内的极端值，可以简化题目，排除错误选项，得到正确答案.

例1 已知0

A.loga（xy）<0 B.0

C.12

分析 当

x→a时，则y→a，此时xy→a2，从而

loga（xy）→2，所以排除A和B.当y→0时，则x→0，此时

xy→0，又因为0

2.在解析几何中的应用

在解析几何中，应用极限思想对条件的某种极限状况进行分析，再将问题从极限状况转化到一般情况，使复杂问题变得简单了.

例2 椭圆x2[]169+y2[]25=1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是.

分析 当P无限趋近于长轴端点时，∠F1PF2→0，当P点从长轴端点向短轴端点移动时，∠F1PF2越来越大.已知∠F1PF2可以为钝角，故一定有一个P0点，∠F1P0F2=π[]2，P越过P0点后，∠F1PF2为钝角，问题就转化为求P0点的横坐标.设P0（x0，y0），因为∠F1P0F2=π[]2，得

|P0F21|+|P0F22|=|F1F2|，即169+144[]169x20=2×144，解得x0=±13[]12199，故填-13[]12199

3.在不等式证明中的应用

在有些不等式证明中，若用极限思想，问题会迎刃而解.

例3 在区间（0，1）上任取x，y，z，求证1[]1-x6+1[]1-y6+1[]1-z6≥3[]1-x2y2z2.

分析 用无穷递缩等比数列的求和公式，即利用极限思想把不等式左边化为

1+x6+x12+x18+…+1+y6+y12+y18+…+1+z6+z12+z18+…=3+（x6+y6+z6）+（x12+y12+z12）+（x18+y18+z18）+…≥3+3x2y2z2+3x4y4z4+3x6y6z6+…=3（1+x2y2z2+x4y4z4+x6y6z6+…）=3[]1-x2y2z2.得证.

4.在数列中的应用

在解答数列题时，利用极限思想，考查项数无限增大时数列的特点，可以从整体上认识数列，从而简化数列问题.

例4 已知数列{xn}中，a1=2，对于任意正整数n，总有an+1=an[]an-3，是否存在实数a，b，使得an=a-b-1[]2n对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.

分析 若这样的a，b存在，应用极限思想：由an=a-b-1[]2n，当n→+∞时，an→a；再由an+1=an[]an-3，当n→+∞时，得a=a[]a-3，解得a=0或a=4.

若a=0，则数列{xn}是以2为首项，以-1[]2为公比的等比数列，从而a1=2，a2=-1，这与an+1=an[]an-3相矛盾，应舍去.

若a=4，将a1=2代入an=4-b-1[]2n，得到b=-4，所以an=4+4-1[]2n，得a2=5，这与an+1=an[]an-3相矛盾，應舍去.综上所述，这样的实数a、b不存在.

5.在立体几何中的应用

在立体几何中，应用极限思想对位置极限状况进行分析，往往能得到问题的结论，使复杂问题变得简单了.

例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围为.

A.0，π[]2

B.0，π[]3

C.π[]3，π[]2

D.π[]3，π

分析 设正三棱锥P-ABC，PO是过底面正三角形ABC中心且垂直于底面的垂线段.当PO→0时，相邻两侧面夹角趋近于π；当PO→+∞时，正三棱锥无限趋近于正三棱柱，相邻两侧面夹角趋近于π[]3，故选D.

在初等数学的学习中，要以教材内容为载体，理解、掌握极限思想，提高思维层次和数学素养.同时在解各类数学题时，有意识地应用极限思想解答，逐步提高利用极限思想分析问题、解决问题的能力，为高等数学的学习做好思维准备.

【参考文献】

[1]高中导数概念教学要引入极限吗[J].科教文汇，2015，7（上）：104-106.

[2]探讨极限思想在高中数学客观题中的实施要点[J].数理化学习，2015，（5）：50.