走出无穷级数的几个解题误区

刘孟 龙蓉

【摘要】无穷级数是高等数学中非常重要的教学内容，同时是高职高专类学生专升本和本科学生考研中必考的数学知识，因此，无穷级数的学习不扎实直接影响到学生专业课的学习和继续深造.本文对无穷级数的概念、性质、敛散性及收敛区间等问题进行整合，利用归纳、举例的方法分析了关于无穷级数的解题误区，以便在教学过程中取得良好的教学效果，同时使学生学生轻松的掌握无穷级数的教学内容和解题方法.

【关键词】无穷级数；解题误区

在无穷级数一章中，从数项级数到函数项级数，再到幂级数展开与求和，所涉及的知识点密集，定理定义及判定方法多至应接不暇，所以学生在学习过程中感到十分吃力，尤其是在做题的时候更是感觉掌握了定理和审敛方法却对题目无从下手，看了答案后才有种“山穷水复疑无解，看答案后见真知”的大彻大悟.笔者根据教学过程中遇到的问题，将关于无穷级数的一些错误命题和方法进行整理、分类，以便学生在做题的过程中避免发生类似的错误，并更好地掌握级数相关的概念和解题方法.

一、主观臆断，想当然耳

错误命题1：若∑∞n=0an发散则limn→∞an≠0.

在判定级数的敛散性时，一般项an是否趋于0可以作为初审条件，一般项an不趋于0是级数发散的充分条件，一般项an趋于0是级数收敛的必要条件.对于上述错误命题我们可以举出反例，即调和级数∑∞n=01n发散，但limn→∞1n=0.

错误命题2：若an+1an<1则limn→∞an+1an<1.

上面的错误经常在使用达朗贝尔比值判别法时出现，可以说是对求极限相当然的一个错误.例如在级数∑∞n=112n+1中an+1an=2n+12n+3<1，但limn→∞an+1an=limn→∞2n+12n+3=1，所以an+1an

的比值和极限值是不同的.在达朗贝尔比值判别法中，当极限值为1时该判别法失效.若判定级数∑∞n=112n+1的敛散性，我们可以使用极限形式的比较判别法，让该级数与已知发散的调和级数进行比较得，这两个级数具有相同的敛散性.

二、误解性质，错下结论

错误命题3：若一个级数加括号后收敛则该级数收敛.

给级数加括号后不改变敛散性是收敛级数的基本性质之一，其前提条件是原级数收敛，所以在使用的时候要注意条件是否满足.对上面的错误命题我们可以举例说明，例如级数∑∞n=1（-1）n-1加括号后得（1-1）+（1-1）+…+（1-1）+…是收敛的，但原级数1-1+1-1+…+1-1+…是发散的.

错误命题4：若两个级数都发散则逐项相加或相减后所得的新级数发散.

根据收敛级数的性质，可以证明两个收敛级数逐项相加或相减后所得的新级数是收敛的，一个收敛级数和一个发散级数逐项相加或相减后所得的新级数是发散的，但两个发散级数逐项相加或相减后所得的新级数的敛散性是不确定的.

三、混淆概念，结论不清

错误命题5：若级数∑∞n=1un绝对收敛，则级数∑∞n=1un条件收敛.

我们首先从概念出发去理解什么是绝对收敛和条件收敛.对于任意项级数∑∞n=1un的各项加绝对值所得级数∑∞n=1un.如果绝对值级数∑∞n=1un收敛，则原级数∑∞n=1un收敛且绝对收敛；如果绝对值级数∑∞n=1un发散，而原级数∑∞n=1un收敛，则称原级数∑∞n=1un条件收敛.由此我们可知，对于级数∑∞n=1un而言，无论是绝对收敛还是条件收敛，级数∑∞n=1un都是收敛的，只能依据绝对值级数∑∞n=1un收敛或发散来判断.可以说绝对收敛和条件收敛是两个相互独立的平行概念，其间不存在充分必要关系.

错误命题6：若幂级数∑∞n=0anxn的收敛半径为R，则其的收敛区间是[-R，R].

求幂级数的收敛半径、收敛域及收敛区间是比较常见的问题，学生却经常因收敛域和收敛区间的概念不清而导致一些错误.明确的说，收敛区间只是开区间（-R，R），而收敛域是指幂级数所有收敛点构成的区域，在收敛区间的端点处也有可能收敛，所以收敛域可能是以下四种情况之一：[-R，R]，（-R，R]，[-R，R），（-R，R）.根据幂級数的阿贝尔定理可知，幂级数在收敛区间内的每一点处都是绝对收敛，只有在端点处才可能是条件收敛.对于幂级数求导或求积分不改变其收敛半径，但收敛的端点可能经过求导后会变成发散.

综上所述，无穷级数这一章内容是高等数学教学中的一个难点，但将数项级数、正项级数、任一项级数以及幂级数的基本概念、基本性质及定理系统的归纳、整理，清晰掌握本章的知识点和解题方法，再加以适当的例题和练习是可以学好的.

【参考文献】

[1]施金福.高等数学（下册）[M].上海：上海交通大学出版社，2010

[2]同济大学数学教研室.高等数学（第三版下册）[M]6版.北京：高等教育出版社，2010.