小议初中数学拓展课程的原则及可行途径

蒋国芳

【摘 要】《关于深化义务教育课程改革的指导意见》首次将义务教育课程划分为基础性课程和拓展性课程两大类。其中，拓展课程建设是我省深化基础教育改革的重要内容，也是此次改革的亮点。本文介绍了深化课改的背景，明确了何为拓展课程及其和课堂教学拓展之间的区别，并结合自身参与学校数学拓展课程建设的经历，提出了初中数学拓展的原则和途径，以期为各学校贯彻数学拓展课程建设提供一些建议。

【关键词】初中数学；拓展课程；原则及途径

一、背景介绍

今年3月，省教育厅出台《关于深化义务教育课程改革的指导意见》。《意见》在国家课程、地方课程、校本课程的三级课程分类的基础上，首次从教育功能的层面将义务教育课程划分成基础性课程和拓展性课程两类。拓展性课程的提出和建设，将在落实义务教育基础性、全面性和公平性的基础上，强化学生的个性化发展。此举是深化现阶段义务教育课程改革的重要举措，既是落实立德树人根本任务、全面提高国民素质的迫切要求，也是总结和推广本世纪初开始的义务教育课程改革先进经验的现实需要，更是对我省深化高中课程改革，尤其是去年9月开始实施的高考招生制度改革的一种呼应。

二、基本问题

作为深化义务教务课程改革的试点学校，我校数学教研组在校领导的带领和支持下，积极响应号召，于本学期开始尝试展开初中数学拓展课程教学的探索。

（一）何为拓展课程

在初步探索阶段，首先明确什么是拓展课程。按照《意见》的表述，基础性课程指国家和地方课程标准规定的统一学习内容，拓展性课程则指学校自主开发开设、供学生自主选择的学习内容。《意见》还将拓展性课程分为知识拓展、体艺特长、实践活动等三大类。其中，知识拓展类课程是基础性课程的延伸、应用和整合，这类课程应基于地方文化和学科核心素养，旨在拓展学生的知识面，激发学生的学习兴趣。据此，笔者认为初中数学拓展课程可作如下定义：即以学校为教研主阵地，以初中数学课程知识为载体，从数学学习的意义空间、文化内涵、生活底蕴中去延伸和开拓，以发展学生的数学思维、培养学生的数学素养为核心的数学知识拓展型课程。

（二）拓展课程与课堂教学拓展

弄清楚拓展课程和课堂教学拓展的差异，有助于更好地理解拓展课程的地位，更为深入地贯彻实施深化教育改革要求。数学拓展课程作为基础性课程的补充，应当是拥有包含指导思想、教学原则、课程实施、课程评价、条件保障在内，既联系数学基础课程，又具有相对独立性的课程体系。而数学课堂教学拓展是基于某一堂数学课而言，是指在课堂教学过程中依据该堂课的教学内容、教学目标，在一定范围和深度上同外部相关的内容密切联系起来的教学活动，属于基础性课程的范畴。数学拓展课程的开发和实施，将有效缓解现行初中数学基础课程统一学习内容过多、过分强调学习基础性、对学生兴趣培养和个性发展不够重视的问题。

三、拓展原则

省教育厅办公室发布的关于建设拓展课程的意见中指出，拓展课程应满足多样性、层次性、综合性和实践性四个基本原则。数学拓展课程的建设首先需要满足上述四条拓展课程的共性，同时，笔者认为，因数学学科的个性，还需要具体分析具体制定数学拓展课程的相关原则。本学期以来，笔者所在学校的数学教研组积极尝试数学拓展课程的开发和实践。笔者根据自身参与数学拓展课程观摩与交流的经历，结合自身教学经验，对数学拓展课堂建设提出以下三个原则。

（一）横向拓展，构建知识网络

数学知识不是孤立的存在。表现有二：某个知识往往前有铺垫后有延伸，前后知识逐步递进、有序展开；不同知识间也存在联系，例如数形结合。数学知识相互关联，横向交织，形成网络。因而在设计数学拓展课程时，可利用现阶段的数学基础性课程尚未涉及，且符合中学生的认知发展特点的内容进行横向拓展。可以找到基础性课程的延伸内容或者跨界联系的知识点所在，帮助学生构建知识网络。例如，我们在进行完全平方公式的证明时，在完成了基础性知识的教学任务后，可以利用数学拓展课堂适当地引导学生了解数形结合思想，并结合一些简单的练习进行强化，帮助学生进行知识的横向迁移。横向且正向学习迁移可以为以后的数学学习起到良好的铺垫作用。

（二）纵向拓展，深化知识理解

所谓纵向，从内容的难度和学习层次的深度上说。就难度而言，最近发展区理论认为，教学应当适时为学生提供有难度的内容，促使学生“跳一跳，摘桃子”。数学拓展课程应当基于数学基础性课程，并根据班级学生的学情制定稍难的学习任务，形成数学学习的纵向拓展，帮助学生深化理解基础性课程中的知识。就深度而言，新课标认为学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。因而拓展性课程的一个重要任务和使命，就是通过设置动手实践、自主探索与合作交流等活动，引导学生追问为什么、探究还有什么以及还能怎么样，让学生体验发现学习的乐趣，挖掘出知识背后的“所以然”。这在一定程度上可以弥补基础性课程对数学思维训练不足的缺陷，也能够通过恰当的探究解决数学能力较好学生“吃不饱”的问题。

（三）课外拓展，课堂联系生活

新课标指出，数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，不仅要发挥数学在培养人的逻辑推理和创新思维方面的作用，更要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能。因而数学拓展课程应当充分考虑到数学在生活中的应用性和实践性，并以之为方向朝课外和生活拓展，也朝学生未来的数学学习拓展。目前初中数学教学仍以班级授课制为主，笔者认为，在传统的以班级为单位的组织形式下展开拓展课程，可以引进生活中的一些值得思考的、学生们正在经历或将会经历的数学问题，例如银行存款利率中的数学问题、手机套餐方案选择问题。跳出班级授课制的制约，带领学生走进学校、走进社区、走进企业，发现实际生活中的数学问题则更值得尝试。我们可以组织学生展开以小组为单位的专题调研、社会实践活动，让学生在给定目标下，设计解决问题的方案，进一步体验分析问题和解决问题的过程，发展应用意识和能力。

四、拓展途径

根据上述数学拓展课程的原则，笔者结合自身数学教学经验和总结，提出以下三条数学拓展课程的可能途径。

（一）将数学史融入数学拓展课程

数学学习在新的时代背景下，除了坚持数学的应用性、工具性，也应当关注数学的人文性。数学史是数学教学的人文向度的重要表现。20世纪70年代兴起的HPM研究大力提倡数学史在数学教学中的作用，其诸多教学实验表明，数学史与中学数学教学相结合能够有效的激发学生对数学的兴趣，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美，从而构筑数学与人文之间的桥梁。我国数学史与数学教育国际研讨会议自2005年举办第一届以来，连续五届大会都把如何将数学史融入中小学数学教学、提升数学教学质量作为会议的主要议题。义务教育数学课程标准（2011）也指出，数学文化作为数学教育的组成部分，应当渗透在教学中。而数学史恰恰是数学文化的重要载体，理应成为数学课程的有机组成部分。然而长久以来，我国的初中数学教学强调解题教学，数学史在中学数学中没有得到应有的重视，从而忽视了培养学生从整体、宏观认识数学思想体系、文化内涵和美学价值。因此，作为基础性数学课程的深化，数学拓展课程应当对数学史在数学教学中的作用给予充分重视。

如何实现数学史融入初中数学拓展课程的教学设计？笔者查阅了相关资料，作了一番总结与思考。

（1）讲授数学知识的历史发展及演变历程。例如在学习函数这一初中数学重点板块时，对于刚刚接触函数的初中学生来说，对函数概念的发展史，虽然不可能有较深的理解，但函数的演变史无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣是有益的。又如在学习从自然数到有理数这一板块时，可以通过对“数的理论体系”发展的漫长历程的展示，揭示数学不是静止而是动态的，不是绝对的而是在猜想和证明中不断发展进化的。从中展示出人类探索数学奥秘的决心和毅力，让学生感受数学家治学的严谨，激发学生探索数学知识的热情。

（2）利用数学家和数学研究的奇闻轶事形成激励。帕斯卡尔16岁奠基射影几何，牛顿22岁发现一般二项式定理，高斯18岁时发明了用圆规和直尺作正17边形的方法；陈景润艰辛付出完全靠纸笔和脑袋证明哥德巴赫猜想中的“1+2”，华罗庚克服贫寒困苦终有所成，陈省身作为现代微分几何的开拓者被杨振宁誉为继欧几里得、高斯、黎曼、嘉当之后又一里程碑式的人物……在数学拓展课程的教学中，有意识地给学生介绍历史上有名的国内外数学家治学的故事，将会带给学生莫大的激励。同时从他们治学的挫折和失败的经历中揭示在数学学习过程中出现困难是正常的，以此帮助学生树立对数学学习的信心，帮助学生克服畏难心理。

（3）古为今用洋为中用，巧解历史上的数学问题。历史上的数学问题为数学拓展课程提供了丰富的教学资源，有许多可以直接用于当下的数学拓展课程。例如在讲授概率这一板块时，在数学拓展课上引入数学史上有名的“点数问题”：“若有甲乙两人（赌技相当）各出赌金 96 金币，规定必须要赢 3 场者才能赢得全部赌金 192 金币，但比赛中途因故终止，此时甲、乙胜局数为 2：1.问：此时应如何分配赌金？”十五世纪到十七世纪共有五位数学家各自提出了自己的解法，教师可先出示题目并引导以小组为单位进行交流和解题，相继出示历史上数学家的解法，同学们可能会因为自己的解法和历史上的解法的一致性而兴奋不已。又如在引导学生用图形直观证明（a+b）2 =a2+b2 +2ab时，向学生介绍欧几里得《几何原卷》中的命题，如下图：

另外，《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，《九章算术》中的应用题，希腊三大几何难题等都可以成为数学拓展课程的资源。历史上的数学问题及其解法对于今天的数学教学不仅是一种资源支持，更可以让学生通过思考与古代数学思想发生思维的碰撞。在一次HPM的教学实验中，老师选取20名11—12岁的学生，先让他们独立完成选自于16世纪荷兰数学教材中的三个题目，然后介绍原书上的解法。实验过程中，学生对历史上的方法产生了浓厚的兴趣，为自己的解法与历史方法的一致性而感到高兴，也了解到了数学问题解法的多样性，并比较了解法的优劣，建立了数学学习的自信。总之，数学史蕴含着大量数学知识发生发展的背景知识，数学研究的科学精神，是我们进行数学拓展课程建设的宝贵资源。

（二）利用拓展课集中讲授数学思想和方法

中学数学教学内容大致由两个部分组成：表层知识和深层知识。表层知识主要包括概念、性质、法则、公式等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。深层知识是数学的精髓，它起着支撑和统率表层知识的作用。笔者在多年的教学中也发现，出于教学考核的需要，教师往往不得不在表层知识上花大量时间对学生进行机械的训练使得学生“做对”，以获取更高的分数。训练是必不可少的，因为强化是数学技能习得的重要手段，但仅仅为了“做对”而进行的强化于学生数学思维的发展而言并不能起到很好的作用，反而枯燥机械的重复会削弱学生在数学上的兴趣和创造力。比如有的学生在一些熟悉的题目上游刃有余，但是题目稍微一变形就束手无策，分数落差巨大，究其原因在于，学生没有真正获取蕴含在题目中的深层知识。我们教师不仅要让学生“做对”，还要让学生“会做”，这就需要教师在基本知识和基本技能的教学过程中，不断地渗透与之相关的数学思想和数学方法，即深层知识，让学生在掌握两基的同时领悟到数学思想和方法的统领性，继而表里结合，高屋建瓴，占领数学学习的制高点，不断提高数学思维和数学素养。根据义务教育课程标准（2011），初中阶段的基本数学思想主要包括归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合等，基本方法主要指待定系数法、消元法、配方法、换元法、图象法等。初中数学方法在数学教材里都有具体涉及但缺乏系统性；数学思想散于教材和练习中，需要经过一定的归纳总结和强化才能够较好地为学生所理解和吸收，因而，笔者认为，可以利用为数不多的数学拓展课程将平日里零碎的、未经总结和强化的数学思想和方法进行一番梳理，通过练习和强化帮助学生内化思想方法。如何将数学思想和方法融入数学拓展课程的设计呢？在同样将拓展课程纳入义务教育阶段课程组成部分的上海，一项培养数学思维较好的学生运用数学方法的实践研究或许能够给我们提供一定的借鉴：

课题组通过梳理相关文献和教学实践研究证明初中数学方法和思想的运用对于数学思维水平稍低的初中学生的数学基础成绩提高无明显效果，但对中等以上特别是将升入高一级学校继续深造的学生有明显效果。课题组首先在一所开设拓展课程的中学建立数学思想方法应用探究班。而后使用自编教材《初中数学方法80讲——六 、七年级使用》和《初中数学方法120讲——八、九年级使用》对探究班的学生进行每周一节数学思想方法课的拓展训练，并以该班为案例总结经验而后推广至50多所学校。研究结果表明，使用《120讲》的学校学生的数学中考成绩及高分段比例有了明显的提高。这让笔者有了一定的思考，并得到一定的启示：

（1）数学思想方法类的拓展课程更适合采用分层教学的方式。之所以选择数学思维能力较好的学生参加探究班级是基于相关研究的结果。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，基础知识和基本技能较为薄弱的学生可能难以在较高层次上得到锻炼，反而可能因此打乱原有的知识结构，失去数学学习的信心。因而，将数学思想和方法集中在数学拓展课程进行讲授可以尝试用“分层教学”的方式，这也是《关于深化义务教育课程改革的指导意见》所鼓励尝试的。但是实施分层教学应当遵循“学生自愿、教师走教、动态分层”的原则，切忌简单地以学科成绩分“快慢班”。

（2）学校应当积极筹备数学思想和方法教学的资源，包括师资团队建设、教学材料的准备。目前还没有一本教辅或教师参考用书对初中数学主要思想和方法进行专门梳理和总结并成册，因而这给学校教师发挥自身教科研能力、自主开发校本教材提供了很大的空间。上述例子中的两本《120讲》即为学校教师自主编写的校本教材。有条件的学校还可以联合区内学校教师，利用集体智慧编写适合全区学生使用的相关教材。这或许需要一个过程，需要多方支持，但是相信一旦编写出相关教材将会受益无穷。

“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地的发生作用，使人终身受益。”将数学思想和方法融入数学拓展课程不论对学生个人还是对学校的数学教学，都会大有裨益。

（三）开发数学应用与探究型拓展课程

数学应用与探究型课程的范围很广。既包括课堂内为了分析某个数学问题、弄清某个数学现象而展开的合作交流与探究，也包括课堂外以数学为载体展开的资料搜集和调研。数学应用与探究型拓展课程着眼于培养学生的方案设计选择能力、信息搜集和处理的能力、问题分析和解决的能力、与人交流与合作的能力。新课程理念强调教学以学生现实生活和已有经验为学习背景，笔者认为，数学应用和探究型拓展课程也应当联系学生已有的知识经验，从学生的学习和生活中找素材形成可供探究的内容，提高学生动手、实践、思考、探索、阅读自学和合作的能力。笔者从空间范围的角度将这类数学拓展课程分为两种：课堂内的拓展和走出课堂的拓展。

1.课堂内的拓展

在笔者所在的学校，不少数学教师已经开始尝试拓展课程的教学。有的教师以《银行存款中的利率问题》为一堂数学拓展课的主题，将生活中的利率问题引进课堂，通过引导学生自主设计存款方案、比较优化不同方案的活动，体会数学知识在实际生活中的应用的广泛性和科学性，收到了良好的效果。教师首先向学生展示一张杭州银行的存单，通过观察存单的活动引导学生了解存单上有哪些信息，接着结合学生的表述借机完整介绍存款方式、本金、利息和利率等概念。在学生对以上基本概念有一定的了解后，引导学生得出以下公式：

①利息=本金*利率*存期。

②本息和=本金+利息。

接着教师创设情境，引导学生自主存款，通过填写空白存单的活动，引导学生应用利息计算方式。教师假设一年后取出存款，再次引导学生在“存两年定期”和“存一年再转存一年”这两种方式中通过计算选择存款收益更多的方式，对存款的方案进行优化。最后教师引导学生放眼储蓄存款以外的理财方式，将知识延伸到课堂之外，将课堂和实际相联系起来。以上教学设计的最大亮点在于，这位老师将数学教材中有关利率的知识进行了拓展和迁移，将学生的视线引到生活情境中，形成了“创设问题情境——建立数学模型——对所建的数学模型进行解释与应用”的课堂教学模式。本堂数学拓展课集应用性和探究性为一体，充分锻炼了学生实践、探索、思考、合作的能力。

另一位教师则以桥牌为拓展课程的主题，将课程合理有序地安排在一个学期，使用自编的讲义用11个课时完成了桥牌的课堂趣味教学。其主要安排如下：

讲义一

就内容而言，该教师对桥牌的讲解由浅入深，将理论上的方法及原则同学生具体的实践操作相结合。为了不破坏教学设计的完整性，笔者选取讲义一的部分内容为例：

001.【何为桥牌】桥牌集思维、分析、计算、推理于一身，是国际比赛项目。我国男女选手在世界上均有很高的水平。中学生完全有必要对桥牌有一个比较好的了解。

002.【桥牌打法】你和对家是朋友，联合起来与另两家作战。使用统一的叫牌法（后学），使用独立的坐庄技术（后学），使用联合的防守手段（后学），进行游戏或者比赛。

003.【桥牌基本规则】一副扑克54张，去掉2张Joker共52张。分4门花色各13张（从A，K，Q，J， 10，9，8，7，6，5，4，3，2）。请按花色理好，记号：黑桃S，红桃H，方块D，草花C.为相对桥牌有一个强弱之分，规定A记4点，K记3点，Q记2点，J记1点，其余不计。当一手牌?12点时，理解为较好，可以开叫。当一手牌?7点时，理解为稍好，可以应叫或者争叫。

004.开叫。己方与敌方都没有叫过牌，以新自然叫牌法（约定极少，比较自然）为准，以下同。

笔者几次观摩桥牌拓展课，发现学生对此十分投入，课间还不忘和同学就课堂内容进行交流和讨论，可见以桥牌教学为主题的拓展课深受学生的欢迎。类似于桥牌的可供拓展的内容还有很多，例如国际象棋，24点算法等。我们学校数学拓展课还开设了数学未来领袖、懂点经济学等。笔者也了解到在杭州市下城区的一些小学，教师将学生的视野引到校园中，引导学生利用数学知识计算物体表面积体积等，称之为“数学步道”。还有的学校将学生围成圆桌的合作探究形象地称为“普罗米修斯的智慧桌”，这些也都是可供借鉴的方式。

（2）走出课堂的拓展。没有空间和时间的限制，走出课堂的拓展可以有效地沟通和融合“课内与课外”、“数学与生活”、“知识与能力”。将数学和实践相结合形成数学课题研究是走出课堂的拓展的一种重要途径。例如，有同学发现手机服务商推出不同的服务套餐，这激发了他探究手机套餐搭配的兴趣，并在同老师和同学的交流与合作中形成了《爸爸手机运营商及套餐的选取和优化》等研究；有同学对车牌号的编码方式产生探究的欲望，通过上网搜集资料、实地采访等形式形成《数学编码在我市车牌号中的运用》的研究报告。这些都是走出课堂的数学拓展课程的表现。

五、小结

在实际数学拓展课程的教学中，其原则和可使用的途径与内容还有许多，笔者的总结只是关于数学拓展课程原则和途径的一种看法，当然还有许多原则和途径有待探究。在一堂数学拓展课上，讲授的途径和内容也并不仅仅局限于某一种，而往往是多种途径和内容相结合。假设在课堂上强行“贴标签”似地讲授数学史， 并不能很好地发挥数学史的功能，甚至学生可能会因为这些课程与“分数” 无关， 而“抵制”学习；又假设我们一味地讲数学思想则容易导致学生精力疲乏，事倍功半。数学拓展课程的教学也同样如此，不管构成数学拓展课程的途径和内容如何组合，都必须以“为学生的数学学习服务”为宗旨。教师在拓展教学过程中要把握教学方向，思路合理，避免“为了拓展而拓展”。

数学拓展课程应与数学基础课程有机结合，它应立足数学基础课程所学的内容，并有一定的超越，但始终是为学生的数学学习服务和奠基的。只有从学生的角度出发，为学生的数学素养提升着想，这样的数学拓展课程才是有效的、适时适度的。因此在数学拓展课程的建设中，我们应当找准学生所需，根据校情、学情制定符合学生认知水平的拓展课程，付之以切实的行动进行有效地拓展，使数学课程因拓展而生趣盎然，使学生因拓展而学有所获。

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