小学数学“鸡兔同笼”问题解法探析

庄晓铭

摘要：“鸡兔同笼”是一道古代趣题，今人新创的解题法各不相同。本文介绍了“鸡兔同笼”解题法中隐含的数学思想，分析了不同解题法的过程，挖掘“鸡兔同笼”解题过程隐含的数学思想，提倡教师在教学过程中注重数学思想的渗透，以此培养学生的数学思维能力，促进学生数学素养的全面提升。

关键词：小学数学   鸡兔同笼   解法探析

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.02.028

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四脚，问雉免各几何？”这就是著名算术题“鸡兔同笼”，这道源自古代《孙子算经》的趣味题经过千百年来无数算术爱好者和教育人士的研究，其解题方法得到了极大的丰富，而其内涵也不断地延伸。现代人研究“鸡兔同笼”的目的已不仅仅局限于具体的解决办法，而是通过“鸡兔同笼”实现数学思想的渗透，学会以数学的眼光看待世界、解决问题。

一、“鸡兔同笼”解题法中隐含的数学思想

解决“鸡兔同笼”的办法有很多，既有古代流行的抬脚法，也有现代人新创的猜想法、列表法、图画法、假设法、建模法、方程法等。“鸡兔同笼”的多样解题法彰显了数学思想在数学教育中的重要地位。作为教师，我们需要深入研读教材，把隐含在课本公式、习题间的数学思想准确地提炼出来，在课堂教学过程中潜移默化地引导学生感悟，促使学生尝试运用数学思想分析与解决问题。

二、“鸡兔同笼”解决法分析

（一）猜想法

也可称为凑数法，即让学生根据题目中提供的“头”的数量先猜鸡与兔的数量，再通过题目提供的“脚”的数量予以印证。在此过程中，学生会慢慢领会“若鸡与兔的脚数量猜测得多，则应该增加鸡的猜测数量而减少兔的数量。反之，若是脚的数量少了，就要增加兔的猜测数量而减少鸡的数量。在这种不断修正猜测结论的过程中，学生自主学习的积极性得到提高，慢慢变得大胆，思路也更加开阔。

（二）列表法

列表法可以看作是猜测法的延续，将猜测的数值按照一定顺序（一般是从小到大）排列为表格，根据表格数据可以发现规律“鸡的数量减少一只、兔的数量增加一只的情况下，脚的数量就会增加两只”。在现实生活中，当一些问题暂时不能找到最恰当的数学模型时，以列表的办法往往能够得到结果，这也为后面的数学建模奠定了基础。

（三）画图法

画图法是最直观形象的办法，首先画出35个头与94只脚，然后先给所有的头配上两只脚，接着将多出来的24只脚加在其中的12个头上，答案出现。通过上面画图的过程，新的解题法——假设法已经初步呈现。画图在小学生的数学学习过程中是一个十分必要也相当有用的办法，学生在动手绘图的过程中能够逐渐领悟解题思路，在一定程度上拓展想象空间，从而体会的掌握其中的数学思想。

（四）假设法

新课程标准的提示内容中有“假设笼子里全是鸡，则全部的脚的数量就应该是70只，这会多出24只脚，一只兔子比一只鸡多两条只脚，则24÷2=12，这就是兔子的数量，那么鸡就有23只”。根据这种提示，学生可以反向思维：“如果笼子里全是兔子，那就应该有140只脚，这样就少了46只脚，一只鸡比一只兔子少两只脚，46÷2=23，这是鸡的数量，那么兔子就是12只。”

假设法解题相对于之前几种解题法而言更加快捷迅速，并且有利于促进小学生创新性思考能力的发展。但假设的方向一定要正确，假设的目标对象必须顺应题目而非自相矛盾，否则不仅得不到正确答案，反而会让解题人陷入混乱。

（五）建模法

这种办法是在假设法的基础上得到的，在“假设”的过程中，学生可以得出以下规律：“鸡的数量=（所有头的数量×4-所有脚的数量）÷（4-2），兔的数量=（所有脚的数量-所有头的数量×2）÷（4-2）”。这个规律就是一个数学模型。这个模型可以解决所有与“鸡兔同笼”问题类似甚至有所扩展的问题。建模法已经是一种相对成熟的解决现实问题的常用数学思想方法，该法从“形”和“量”的角度分析现实问题，以相对简化了的抽象形式确立解题参数与参量，结合数学定理（定义）将现实问题与之关联，此时，一个数学（或现实）问题就成为一个极简的数模。小学生对于建模的问题相对难以理解，但教师应当尝试让学生初步对建模产生大致的印象，从而为后续的深入学习做好铺垫。

（六）方程式解题法

方程式的应用在四年级已有了初步的认识，这种方法也是使用最广泛和最便捷的数学思想方法之一，具体到“鸡兔同笼”的问题，可以设兔的数量为X，鸡为Y，则鸡头数量则为35-X，那么，兔子的脚就是4X，鸡脚就是2（35-X），则方程式为4X+2（35-X）=94，解X=12，Y=23。

方程式作为解决现实问题最有效的数模，具有直接、简便、以易解难的优势，其在现代社会各行业均有广泛应用，此法的应用重点在于将问题中的已经量与未知量通过列方程建立起关联，最终通过已知量计算得到未知量，此即为方程式思想方法的由来。

三、通过分析“鸡兔同笼”教会学生数学思想

从上述猜想法到方程式法不难看出，这些由浅及深的数学思想方法之间存在着层层递进、由具象到抽象、由低层级往高层级发展的关联。粗看之下，“猜想、列表、画图”显得幼稚，似乎很“笨”，而且一旦头和脚的数量上了百只，那么仅在画图表上耗费的时间就已经无法想象，更遑论后续的解题措施。然而，这些略显笨拙的解题法作为小学生学习数学思想的必然过程却是必不可少的，正因有了这些“笨”办法，才为后面的假设、建模与方程式奠定了基础。教师需要通过这样循序渐进的教学方法化繁为简，进一步让学生明白所谓的“笨”办法与后面精炼简洁的数模之间其实有着千丝万缕的联系，从而让学生了解“数学思想之间并非孤立存在”的深刻内涵。

四、结束语

分析“鸡兔同笼”的目的在于让小学生掌握不同数学思想的内涵，教师应充分挖掘与延伸“鸡兔同笼”的潜在价值，引导小学生领会及掌握不同数学思想方法间的联系，为更高层级的学习奠定坚实的基础。

参考文献：

[1]谢清霖.亲历问题解决过程 深入感悟数学思想——“鸡兔同笼”问题蕴涵的一些数学思想方法教学例谈[J].小学数学教育，2013（2）.

[2]邵丽芳.用列表法解决“鸡兔同笼”问题的教学实践与反思[J].教学月刊小学版：数学，2011（12）.