以初等变换为主线的《线性代数》教学体系设计

摘 要：为了适当降低理论推导，注重数学思想、数学方法和实践教学，根据线性代数课程教学内容和教学要求设计了以初等变换为主线的教学体系：从解线性方程组引入该课程，从解方程组的同解变换类推出矩阵的初等变换。在此基础上得到矩阵的行列式的相关性质及行列式理论，还利用初等变换讨论矩阵的秩和逆、讨论向量组的线性关系、解决二次型和线性空间中的问题。并补充了实验实践教学内容。

关键词：初等变换 主线 教学体系

中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）04（b）-0122-02

Abstract：In order to decrease the theoretical derivation and pay attention to mathematical thought，mathematical methods and practice teaching，this paper designs the teaching system with the concept of elementary transformation according to the linear algebra course teaching contents and teaching requirements：it starts the course from solving linear equations，and launches elementary transformation of matrix from it.On this basis， it gets the related properties of determinant of matrix and determinant theory；with primary transformation it also discusses inverse and rank of matrix，linear relationship of vector group and some problems of quadratic form and linear space. The experiment practice teaching content is added at last.

Key Words：Elementary transformation；Main line；Teaching system

《线性代数》是计算机，自动化，通信电信，信息安全，化学，土木，财经等所有理工和部分文科专业必修的公共基础课程。其重要性一方面体现在该课程的实践应用，如：著名的投入—产出模型；另一方面，它也是学习专业课程如软件编程、数字通信原理、电路分析等的前提和基础。但从教学现状来看存在以下问题：只注重专业课程而忽略了基础课程的教学；由于急功近利思想只注重考试过关；只讲授如何考试和做题而忽视了数学思想和数学方法的传授；由于教师或学生各方面的原因导致该课程的教学变成一种过程和形式，没有产生良好的教学效果等。所以学生对该课程普遍感觉理论性太强，偏难，学无所用等，从而影响到了学生专业课程的学习甚至个人发展。

结合学生和教师的教学现状，为了降低学习难度但不减少教学内容，为了让学生知其然并且知其所以然，为了降低理论推导增加实践应用，为了锻炼学生的思维和能力，笔者根据多年的教学经验，探索出不拘泥于教材[1]的以初等变换为主线的线性代数教学体系。

1 从解线性方程组引入

解线性方程组的消元法在中学是教学重点，学生对该方法不陌生，从解方程组引入课程学生更容易过度和接纳，好的开始是成功的一半。另外，从线性代数的教学内容、意义分析可知解方程组是根基，尤其是同解变换和消元法的过程，因为它们是矩阵的初等变换，矩阵化阶梯型矩阵、行列式化三角行列式，判别方程组解的情况等重要知识和方法的跟源。现在有一种教学观念是知识模块化，这种观点也是与慕课理念相符的，但对于线性代数课程来说，初等变换是贯穿整个课程的主线，所以模块化割裂了行列式、矩阵、向量、二次型等知识、方法之间的本质联系，使教学浮于表面。另外，分割性的模块化也约束了该课程数学思想和数学方法的立体呈现。

2 建立线性方程组的同解变换和矩阵的初等变换之间的对应关系

线性方程组与未知量的形式无关，完全由方程组的系数和常数决定，如线性方程组一一对应到数表，这是矩阵本质的体现即数表。解线性方程组涉及三种同解变换：（1）交换两个方程的位置；（2）某个方程的两边同乘某个非零的数；（3）某个方程的倍数加到另一个方程。对应的给出矩阵的三种初等行变换：（1）交换矩阵的两行；（2）矩阵的某一行乘非零的数；（3）矩阵某一行的倍数加到另一行。根据同解变换和初等行变换的对应性不难建立它们之间的对应关系，从而解方程组的过程可以简化的用矩阵的初等变换来表示。

因为行列式、向量、二次型中的主要方法都与化阶梯型矩阵的过程有关，所以该章重点讲授如何用初等变换化矩阵为阶梯型。

为建立以初等变换为主线的线性代数理论体系，根据线性方程组的同解变换与矩阵的初等行变换的对应关系需要得到以下基础结论：如果线性方程组有解，则矩阵经过初等行变换变为当且仅当同型方程组与同解；如果无解，矩阵经过初等行变换变为，则也无解。

3 介绍行列式的理论

行列式理论的重点是行列式的定义、性质、计算和应用。行列式的意义是解线性方程组，反过来这也决定了行列式的定义。行列式主要有三个基本性质：（1）交换行列式的两行，行列式变号；（2）行列式某一行乘数等于整个行列式乘数；（3）行列式某一行的倍数加到另一行，行列式不变。显然，这三个性质与矩阵的初等变换是有关的。同时根据第2章中化阶梯型矩阵的方法可得对应的行列式化为三角行列式的计算方法。展开法则是根据行列式的性质推出的降阶法。行列式的应用主要是Cramer法则，它可以利用行列式的性质和展开法则来证明；为了降低难度有些教材把该法则移到矩阵部分，但这样处理破坏了行列式理论的整体性；该法则可以参考文献[3]中独特的比较简單的证明方法。

4 矩陣的初等变换应用于讨论矩阵的秩

矩阵的秩是判别线性方程组解的情况的依据，也是讨论矩阵可逆及矩阵应用的基本概念。这一章主要介绍秩的概念和求法，通过阶子式的实例可以归纳出秩的概念；对于秩的求法，根据第2章中的基础结论和Cramer法则应用的结果，首先得出相对于教材定理体系更容易接受的结论：矩阵的初等变换不改变矩阵中阶子式等于零或者不等于零的性质。从而有“矩阵的初等变换不改变矩阵的秩”。等同于教材中的“等价的矩阵有相同的秩”。然后通过阶梯型矩阵的实例得出最大阶子式的取法：取阶梯型中的非零行，阶梯列所得子式为对角元不等于零的上三角行列式，从而有“阶梯型矩阵的秩等于阶梯型矩阵中非零的行数”。

5 初等变换法应用于求逆矩阵

逆矩阵的思想来源于除法，但和除法完全不同，因为矩阵不一定可逆。这部分的重点是矩阵可逆的条件、逆的定义和逆矩阵的求法。用初等变换法求逆矩阵的要求领会“对矩阵作一次初等行（列）变换相当于该矩阵左（右）乘相应的初等矩阵”，比较抽象，因此，很多教材把该方法较复杂的推理定为选学内容，但该思想不仅能用于求逆矩阵，对推导过程稍作调整以后还可用于求解矩阵方程和，更进一步还能应用于二次型化标准型以及线性空间中的正交变换等重要内容，这些具体应用可以参考国内外的相关研究成果。如果熟悉了初等变换和初等矩阵的关系实例，该思想及相关的应用学生还是容易掌握的。

6 初等变换讨论向量组的线性关系

该部分的概念有具体的几何意义，如：线性相关、线性无关、等价等。利用第2章中的基础结论分析可得两个重要的但比教材[1]中定理体系简单的基本性质，“初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性”和更进一步的“初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性表示关系”。由这两个性质分别可以求向量组的最大线性无关组和把其余向量用该最大无关组线性表示，当然结合矩阵的秩还可以判别向量组的等价和线性表示关系等。

7 初等变换应用于二次型及线性空间

二次型的主要内容是化为标准型及其正定性的讨论，化标准型有初等的配方法以及矩阵的合同变换法，合同变换是对矩阵作一次初等行变换，再作一次相应的初等列变换，通过合同变换把二次型的对称矩阵化为对角矩阵即得原二次型的标准型，标准型以对角矩阵的对角元为平方项的系数。对称矩阵的相似对角化和正交变换也可以结合初等变换类似地讨论。在线性空间中，因为基就是向量空间的最大线性无关组，所以利用矩阵的初等变换可以求得线性空间的一组基。根据第5章解的方法可以用初等变换求两组基之间的过度矩阵和求一个向量在某组基下的坐标。

8 初等变换的实验实践教学

实验实践是重要的教学内容，一方面结合了计算机和其它专业知识的应用，加深了理论知识的学习和理解；另一方面也体现了该课程的应用价值，增强了学生的学习兴趣和能力素养。线性代数课程可以设置6学时以上的实验操作课，主要学习一种软件如Matlab的操作，通过简单的命令实现该课程中所有的计算如计算行列式，求矩阵的逆，求向量组的最大线性无关组，解方程组等。条件允许的话还可以增加课时开设旨在培养学生勇于探索的创新精神、善于解决问题的实践能力、培养拔尖创新人才而进行的实践教学活动，研究社会实际问题，如：饲料配比问题，要求利用现有的原料如何配备出符合要求的饲料，并使得效益最大。这样既提升了学生学习兴趣，也促进了理论知识的理解和掌握，还提高了学生的实践能力、动手能力和创新意识。

9 结语

以矩阵的初等变换为主线的教学体系包括了理工科线性代数课程教学基本要求的知识和方法，该体系利用初等变换把该课程串成一个整体：从初等变换与线性方程组的同解变换一一对应的介绍，到第2章的基础结论及其在后面章节循序渐进的应用，系统而且全面，环环相扣。按照该体系授课降低了课程的难度，明确了课程的重、难点，传授了数学思想和方法，注重了教学实践，让学生体会到了数学知识的应用性，兼顾了学生的知识、能力和素养，整个过程凸显出数学逻辑严密的美感。

参考文献

[1] 同济大学数学系.工程数学-线性代数[M].6版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] Kenneth Hoffmna，Ray Kunze.Linear Algebra（Second edition）[M].Englewood Cliffs，New Jersey，1971.

[3] 谢乐平，李明燕，韩汝月，等.Cramer法则的证明方法[J].怀化学院学报，2014，33（5）：84-86.