如何培养高中生的解题能力

耿忠娟

摘 要：在数学的学习中，解题是必不可少的活动，且需要师生共同参与。因为学生学习了某些数学知识未必能够驾驭这些知识。可见，解答数学题需要的是数学思维能力，同时也能发展学生的数学思维能力，本文从四个方面阐述了如何培养高中生的数学解题能力。

关键词：解题能力；数学思维； 解题方法

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）32-0065-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.32.041

近几年来，高考数学突出考查学生在理解、掌握知识的基础上严谨的推理能力，同时注重考查学生的运算求解能力、空间想象能力、逻辑思维能力、创新应用能力，进而体现数学学科的工具性和应用性。因此，培养学生的解题能力是高中数学教学的重中之重。我在本文中就如何培养学生的解题能力，谈几点具体的看法。

一、让学生养成认真审题的好习惯，提高审题能力

数学问题包括已知条件和需要解决的问题两部分，审题就是要求学生对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的知识点进行分析。有的学生的读题习惯是快速读题，然后找寻思路，找不到思路后，再次读题，这样反而浪费时间；有的学生是仅仅读题目的文字，没有分析题目多给的已知条件和需要解决的问题。因此我个人认为，审题时要慢并将题目中的关键词关键量做出标记，同时审题时要注意题目中的隐含条件。另外，还要边审题边分析题，读到题目的已知条件要想和该条件相关的基础知识点，以便找到解决问题的思路。有些问题从已知条件中不能很快找寻到思路时，就要看题目中的问题，由问题想解决该问题需要知道哪些条件，进而寻找解决问题的突破口。

例1.在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，

已知

（1）求的值。

（2）若，求边c的值。

[审题分析]（1）先化单角为半角再求单角三角函数值。

（2）a2+b2=4（a+b）-8中隐藏特殊平方关系可求a，b，用余弦定理求c。

[解]（1）由已知得，

即

由，得

即

两边平方得

（2）由>0，

得即，

则由，得.

由a2+b2=4（a+b）-8，得（a-2）2+（b-2）2=0，则a=2，b=2。

由余弦定理得，

所以.

在本题的审题中，要注意三角形中及三角函数式所隐含的角的限制。挖掘出的隐含条件和特殊特征有可能是撬动问题解决和发现简捷解法的关键，这项工作有时不难，有时有一定困难，但只要有意识地注意它，有意识地训练，并掌握基础知识和解题规律，是不难做到的。

二、引导学生发现规律，寻求解题途径

数学问题由两部分组成：已知条件和需要解决的问题，这两者之间有内在的逻辑联系和必然的因果关系。解数学题的过程，就是灵活运用所学知识，去寻求这种联系和关系的过程，寻求到了这种逻辑联系也就找到了由条件到结果的途径。寻找解题途径的方法主要有综合法和分析法，常用的有等价转化、特殊化、一般化、归纳、类比等方法。解题时运用这些特有方法寻找解题途径是否奏效，关键在于是否能灵活地运用和大胆试探。

例2.设等差数列的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m>n），求它的前m+n项的和Sm+n.

[审题分析]

（1）这样只要求出即可.

（2）由可以构造出，并求出。

[解]设的公差为d，则由Sn=m， Sm=n（m>n）得

两式相减得

本题的解法突出了整体思想，要求学生要掌握公式，善于观察结构特征。通过问题的结构特征采用适合的方法。发现问题的规律是提高解题能力的重要过程，对于所考察的知识点或者根据题型进行规律的总结，并将这些规律应用于新的问题，如解决三角函数的问题要先观察角，解决数列问题要先观察项数等。

三、指导学生运用数学思想 寻找解题思路

数学是一门思维学科，灵活运用数学思想方法来寻求解题思路，往往会事半功倍。函数与方程思想能够解决函数、不等式和方程等知识的综合问题；数形结合思想能够使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质；分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略；转化与化归思想能够将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已知解决的问题。

学生的解题活动最能影响他们的思维发展，要使数学解题活动在发展学生思维方面取得最佳效果，还必须合理地控制学生的解题活动，即在教师的指导下，由学生独立地探索解题。

四、培养学生在解题后进行反思的习惯

待解决问题之后，再对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个环节，这是数学解题过程的最后阶段，也是提高学生解题能力最有意义的阶段。解题过程反思包括：反思问题中的隐含条件和结构特征是否被挖掘，反思解题过程的分析与推理是否合理，反思解答过程是否完备，反思解题思路是否最简。学生通过对解题的结果和解题思路进行细致分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，从解题中总结归纳出数学的基本思想和基本方法，并将它们运用到新的问题中去。

例3.过点P（1，-2）引圆x2+y2=1的切线，求切线方程。

[错解]设过点P（1，-2）的圆的切线方程为y+2=k（x-1），则圆心O（0，0）到切线的距离等于圆的半径. 即，解得。

切线方程为3x+4y+5=0。

[答案]x=1和3x+4y+5=0

[反思]（1）如何通过检验发现题有错？此题可以用几何作图进行验证，点在圆外，切线有两条，上述解法丢解了。

（2）丢解说明推理不合理，解答不完备，解题不合理的原因是什么？此题设直线方程时就埋下可能丢解的隐患，根本原因在于直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等四种形式都不能够表示平面内所有直线，所以使用某种形式的方程时，该方程不能表示的直线情形必须另外讨论。

反思能沟通知识间的联系，促进知识的同化和迁移，深化对知识的理解，有利于在原有的基础上建立更高层次的认知结构，进而产生新的发现，反思能使我们的解题水平和思维水平不断上升，并形成良好的思维品质和科学的思维模式。

总之，解题并不仅是为了求得问题的结果，真正的目的是提高学生综合运用数学知识、分析问题和解决问题的能力，培养他们的创新精神，提升他们的数学素养，而这种数学素养在学生独自完成作业中能够得到提高，所以，我们有必要处理好知识教学与解题教学的关系，在平时教学中，注重培养学生的解题能力，发展他们的数学思维，使数学教学效果得到明显改善。

参考文献：

[1] 曹一鸣，张生春.数学教学论.北京师范大学出版社，2008.

[2] 新课标高考2015高考总复习一轮用书.首都师范大学出版社，2015.

[责任编辑 赵景霞]