浅谈在乘法公式教学中培养学生的观察和思维能力

冉光才

摘 要 学生的观察能力及思维能力直接影响着学生对数学的学习，本文从乘法公式的学习、乘法公式的运用、对公式、性质的综合利用及知识产生的过程教学浅谈了培养学生观察能力及思维能力的方法。

关键词 乘法公式 观察能力 思维能力 培养

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）18-0010-02

学生的观察能力及思维能力直接影响着学生对数学的学习，因此教学中，在传授知识的同时应注意培养和提高学生的观察能力及思维能力，使他们在获取知识的过程中学会观察和思维的方法，从而提高思维的效率。在此我就乘法公式的教学如何培养学生的观察能力谈谈自己的做法。

一、通过乘法公式的学习培养学生的观察能力

在公式的学习中应引导学生仔细观察、分析公式的结构特征，正确理解公式中各个字母的广泛含义以及公式所表达的真正意义。

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2公式写出后首先可引导学生由等式的两端观察公式所含的外形结构，公式左边为两个因式的积，这两个因式所含的项数相同，且在两个因式中一个项相同，另一个项互为相反数，因此左端可叙述为两个数的和与这两个数差的积，右边正好是这两个数的平方差。其次，让学生理解公式中的a（第一个数）b（第二个数）可为具体的数，也可以是单项式或多项式等代数式，凡是符合这个结构特征的写为（□+△）（□-△）=□2-△2

例如：運用平方差公式计算：

①（-m+n）（-m-n） ②（2a-3）（-2a-3）

在①中通过观察不难得出表达式为-m与n的和与差的积，所以第一数为-m，第二数为n，因此可利用平方差公式进行计算，即：原式=（-m）2-n2=m2-n2

②的表达式就不像①那样直接，但只要仔细观察便会发现表达式中的两个因式所含的项数相同。两个因式所含的项数相同，在两个因式中-3与-3相同，而2a与-2a互为相反数，因此式中的两个数分别为-3与2a，可利用交换律得到（-3+2a）（-3-2a）=9-4a2。

通过观察确定第一数和第二数是运用公式的关键，也是难点，利用公式的结构特征对表达式进行观察便会使观察具有目的性和直观性。

完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2引导学生通过观察认识到：（1）完全平方和公式完全平方差公式中首尾两项相同，中间一项互为相反数，即二者仅一个符号不同；（2）完全平方的结果是一个三项式，这样可避免学生犯（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2的错误；（3）完全平方公式的另一种形式可为两个相等的多项式相乘时便可直接利用完全平方公式进行计算。

例：运用完全平方公式计算（4x2-y2）2这个数学公式可分两层理解，①4x2-y2理解4x2为与y2的差，②（4x2-y2）2理解为4x2与y2的差的平方，因此可利用完全平方公式，其中第一数为4x2，第二个数为y2，故：原式=（4x2）2-2？x2讁2+（y2）2=16x4-8x2y2+y4

二、通过乘法公式的运用，培养学生观察的敏捷性

例：运用乘法公式计算

①（x+2y-1）（x-2y+1）

②（x+y-z+m）（x-y+z+m）

分析：①中的两个因式所含项数相同，在所含的项中：x与x相同；2y与-2y，1与-1互为相反数，利用加法交换律和结合律可将原式变形为[x+（2y-1）][x-（2y+1）]，这便与平方差公式的结构特征相符，其中第一个数为x，第二个数为2y-1，故原式=[x+（2y+1）][x-（2y+1）]

=x2-（2y+1）2

=x2-4y2-4y-1

②中的两个因式所含项数都是四项，进一步观察会发现：x与x，m与m相同；y与-y，z与-z互为相反数，利用加法交换律和结合律可将原式变形为[（x+m）+（y-z）][（x+m）-（y-z）]这就是与这两个数的和与差的积，因此符合平方差公式的要求，故原式=[（x+m）+（y-z）][（x+m）-（y-z）]

=（x+m）2-（y-z）2

=x2+2mx+m2-y2+2yz-z2

三、通过对公式，性质的综合利用，培养学生的综合观察能力

例：计算（x+y）2（x-y）2

分析：由表达式学生不难看出可利用公式来进行计算，问题是应作怎样的组合才会使计算简便，这除了需要对表达式进行认真细致的观察外，还需要在观察时具有整体意识。在这个表达式中，两个因式分别为完全平方和与完全平方和与完全平方差，学生很容易受这一特点的诱惑，将它们用完全平方式展开，各得到一个二次三项式，最后还把这两个二次三项式相乘，显然这样的计算过程比较繁，假设式中的两个因式的指数为1，即（x+y）（x-y），这一表达式恰好符合平方差公式，逆用积的乘方的运算性质便可把原式转化为[（x+y）（x-y）]2即原式=[（x+y）（x-y）]2

=（x2-y2）2

=x4-2x2y2+y4

四、变用和推广公式，培养学生发散思维能力

发散思维是一种不严格的非逻辑思维，是一种不依常规，寻求变异，多方面寻求答案的思维形式，具有流畅性、变通性等特点。在乘法公式教学中可通过推广公式，在不同条件和结论下变用公式培养学生的发散思维能力。

例如，推广完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，从两方面推广：一是从指数推广，可向学生介绍著名的“杨辉三角”，寓德于教，对学生进行爱国主义教育；二是从项数推广，课本例题已得到：（a+b+c）2=[a+（b+c）]2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，启发学生思考如下问题：

问题1：猜想（a+b+c+d）2展开结果是什么？有何规律？你能否证明？

问题2：项数推广到n项，猜想（a1+a2+……+an）2结果有何规律？

这样设置问题，有助于培养学生发散思维能力和探索未知的精神，为学生将来学习打下良好基础。