导数与积分在经济分析中的应用

【摘 要】随着经济的发展，对于经济的分析也逐渐的引起了更多的人的重视，使用数学问题来解决经济问题是一个很好地途径因此显得越来越重要。导数和积分等高等书序知识，在对经济进行分析时有着重要的作用，是十分关键的工具，因此可以使用导数和积分的知识在经济活动中对实际的问题进行分析，从而为了企业的营业者提供一个正确的决策，促进经济的发展。本文主要对于如何将导数和积分应用在经济分析中进行了简析，希望能够起到一定的参考价值。

【关键词】经济分析 数学应用 导数 积分

1 导数的应用

所谓导数，指的就是数学中的因变量的增加量与自变量的增加的量的比值，当这个增量无限的趋近于零的时候，就能够得到这一点的导数。将其使用在经济分析中，经常是使用f（0）来表示在0这个位置的变化率的，往往应用到边际问题以及弹性问题上。

在经济分析中，经常会使用“平均”以及“边际”这两个概念来描述经济变量的变化情况。其中，平均的概念表示的是在自变量x处于某一个范围时，因变量y随之产生的变化情况。而边际的概念指的则是当自变量x的值处于某一个特定值的时候，其对应的边缘值y的变化情况。因此通过数学概念中倒数的定义，可以知道边际概念指的就是平均量x的值的变化量无限小的时候对應的y值的变化。在实际的应用中，经过用到的边际变化包括：边际成本、边际利润以及边际效益等。

首先，可以使用导数来对边際成本进行分析。如果某种产品的生产成本为一个函数C（x），那么就可以将其边际成本定义为其成本函数C（x）的导数，这种定义方式是有其实际的经济含义的，即：在产量为x的时候，多生产一个单位地产品（即 x=1），那么生产的总成就就增加了 C，所以对于边际成本可以将其近似的表示为C（x）的导数。也有西方的经济学家对其做出了这样的解释，就是在产量达到了某个值q的时候，生产q之前的最后一个单位产品所需要的成本。而对于边际收益的分析与对于边际成本的分析类似，可以将其定义为总收益函数的导数，表示在销售量为q的时候，只要在增加一个单位的销售量（即 x=1），就能够增加总收益 R（x）。同理，边际利润指的是总利润函数的一个导数，表示在销售量为x的时候，如果销售量能够增加一个单位，利润则会相对应的增加 L（x）。

在经济学中通常将需求量与价格的相对的变化率成为弹性，也可以将其称为需求的价格弹性，这是在商品的价格发生变化时对于变化的强弱进行描绘的最好的一种方式。在市场经济中，经营者必须要对于商品的价格有一个充分的掌握，这样才能够正确的掌握好商品的价格，从而使得企业得到更好的发展。商品的需求弹性在计算的过程中也需要涉及到导数的运用，在这里就不仔细说明了。

2 积分的应用

在高等数学之中，求积分与求导数是最常见的两种运算，并且二者之间互为逆运算。其中，不定积分表示的是对于所有的原函数进行求解，而定积分则是对某一个范围内的原函数进行求解。与导数的应用一样，积分的应用在经济学中也是十分常见的，经常会遇到对已知函数进行积分求解的问题，在经济学中则表现为使用积分来对最值问题以及资金的流量的现值问题进行求解。

首先对于最值问题的求解表示为，在经济应用之中对于最低的平均成本地求解，以及获得最大的利润的求解。例如，在对于边际成本已知的情况下，可以通过积分的方式来对总成本函数来进行求解，从而能够求得最低平均成本。相似的，对于最大的利润的求解问题也可以通过对于边际收益函数的积分获得原函数，从而获得最大的收益。

对于资金流量的现值的求解，表示为如果有一项投资的收益是通过若干期实现的，通常情况下会以一年作为一个周期，那么每一期的期末收益会存在着一定的差异，那么就可以将这些收益称之为“资金流量”，也可以将其称之为收益流量。如果说对于每一期的资金流量值为R1，R2，R3…，那么在第i期的资金流量就是Ri。在这样的条件下，如果想要求得现值P，以及未来的收益在现在的价值，就可以采用积分的方式来进行计算。如果我们设利润为r，那么就可以采用这样的方式进行计算：

第一，如果是离散的情况，那么第i期的现值流量Ri就可以使用对于离散值进行积分的方式来进行求解，也就是所有期获得的现值流量的总和，即：P=。

第二，如果此时函数处于连续的状态，那么资金流量就是时间t的一个连续的函数。将t作为时间单位，并且以年为单位进行计算，那么在第t年得到的资金流量就是R（t），这样求得的这一期的年末资金流量总和就是一个对于t的函数的积分，且是从0到n的一个定积分，也就是P=。

如果在实际的经济活动中，假设每年的收益流量为a元，并且持续了5年，而且获得的年利率为r，那么就可以使用上述的公式进行求解，并给此时R（t）是一个定值a，积分的范围就是0到5，这样就能够很快的求得现值的大小。

3 结论

目前将数学很好地运用在经济建模中是一种很常见的方式，而导数和积分的应用则最为常见。对于企业这来说，在经济分析的过程中使用定量的方式来进行精确地分析，得到准确的、严谨的决策，不但能够使得决策者产生新思路进行更好的决策起着至关重要的作用，而且对于企业得到更好的发展有着良好的促进作用。因此本文主要分别得介绍了导数与积分的应用，希望决策者能够更好地利用数学方法做出正确决策。

参考文献

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作者简介：徐天阳，女，天津市武清区杨村一中高三24班

20001028出生。