数学模型建立与日常问题中的应用

李宛儒

摘要：当今社会，股票、保险、投资、彩票等日常的经济问题已经随着现代经济的成熟与进步变得越来越复杂，我们平时用心观察，就会发现，在现代生活中很多的日常经济问题并不能够通过简单的直觉就可以判断的。但是，通过掌握一定简单的概率组合问题以及其解决办法，我们可以更好的判断日常生活中每个人都会接触到的一类简单的经济问题。本文通过对于生活中出现的概率问题，组合问题，充分的展现了数学在经济生活中的应用，以及合理的思考和正确的方法对解决数学问题的帮助。

关键词：概率；组合；数学建模；日常数学问题

一、引言

其实生活中的很多简单经济问题都可归纳为中学数学的概率组合事件。比如游乐场的扔圏套娃娃游戏，圏的大小影响了能套中娃娃的概率，直接影响着商家能不能盈利，所以这个小小的圏里其实有着大大的计算。复杂一点的比如离我们最近的人身伤害保险，其实保险公司在销售这款保险产品之前会做一个复杂的模型。模型中包含了通过一系列分析计算得出的投保人群的可能受伤害的概率，通过这个规律，保险公司可以制定出一套保险方案包括投保金额，理赔金额等等。最终而言，即便理赔金额远远大于投保金额，但保险公司还是盈利的。

再比如现在的彩票，彩票作为一个概率事件，中奖的几率是非常低的，以从前非常流行的35选7为例，一等奖中奖率有多低？我们可以做一个计算35个数字组合可以有C357=6724520种可能，买一注就中奖的可能只有1/6724520，所以说这个中奖率是非常低的。

数学组合的问题同样十分贴近我们的生活的，它在生活中非常常见。比如，求n个球队参加的比赛中，每队只与其他队各比赛一次的总比赛的场数。又比如，一个人要把一匹狼，一只羊和一棵大白菜运到河对岸。而当人不在的时候，狼会吃羊，羊会吃大白菜，而这个人的船每趟却只能运其中的一只。问这个人怎么做才可以都运过河。

诸如上述概率组合问题是我们在生活中会经常遇到又常常需要区解决的一类实际问题，那么我们应该如何运用自己所学的数学知识来解决上述问题呢？

二、建立针对同类问题的数学模型

首先我们可以建立一个和所求问题相一致的数学模型，进而更好的探究同类的问题。

建立数学模型就是通过我们已经学过的数学方法和数学原理来构建一个易懂的，生活中实用性很强的数学模型，进而阐述比较困难的数学问题。数学模型的建立遵从以下步骤：

1.分析问题，找到问题本质。

2.非必要因素忽略，简化问题。

3.通过数学计算归纳出这类问题规律。

4.最终与要研究问题相对比，找出相应问题的统一处理办法。

三、应用举例

我们仍以上文提到的保险赔偿问题入手，通过实际的问题解答来深入分析数学模型的建立对实际问题解决起到的帮助。

例1、某中学为在校学生投保人寿保险，据了解学生在校受到严重意外伤害的概率是0.001，学生须缴付保险费为每人每年12元。如果学生在校期间一旦发生意外事件而受到伤害可获得保险公司的赔偿为2000，此时保险公司是否盈利，获利不少于10000元的概率是多少求，且保险公司亏本的概率是多少？

通过感性的认识，我们很难感受到保险公司的利润率到底是多少？保险公司在提供相对投保金额十分高昂的赔付金额的同时是如何保证盈利的呢？我们通过建立起简单的数学分析模型来看到对于这些生活中的概率问题来进行更细致的解答。

解：设一年中受到伤害人数为X，概率为p=0.001，把考虑2500人在一年里是否受到伤害看成2500重贝努利试验，则有

np=2500×0.001=2.5 ，np（1-p）=2500×0.001×0999=2.4975

此时保险公司的年收入为2500×12=30000，支出为2000x元，得：

获利不少于10000元的概率

p（30000-2000x≥10000）=p（0≤x≤2）

=p0-2.52.4975≤x-2.52.4975≤2-2.52.4975=Φ（-0.32）-Φ（-1.58）=0.9429-0.6255=0.3174

而保险公司亏本的概率

p（30000<2000x）=p（x>15）

=px-2.52.4975-15-2.52.4975

=1-Φ（7.91）≈0

经过计算可以看到，保险公司亏本的概率近乎为零。保险公司设定的保险条款通常是经过更加复杂和精密的计算而设定的，能够确保其盈利，所以保险公司都是十分积极的展开各自业务的。

例2.如将一笔资金投入到三个不同的盈利基金中，即基金A、基金B、基金C。

不同的基金收入不同同时又与经济形势有关系。假设经济形势分为好、中、差三个级别，分别发生的概率为P1=0.2，P2=0.7，P3=0.1 。根据各基金的数据参考可得到不同级别状态下各基金的收益概率分布如下表。

好P1=0.2中P2=0.7差P3=0.1基金A113-3基金B64-1基金C102-2此时，我们该如何投资才能获得比较好的收入呢？

解：首先看三个基金的数学期望

E（A）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4

E（B）=6×0.2+4×0.7+（-1） ×0.1=3.9

E（C）=10×0.2+2×0.7+（-2） ×0.1=3.9

方差：

D（A）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4

D（B）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29

D（C）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96

通过分析离散型随机变量的期望可知，投资基金A的平均收益最大。但投资的同时也要注意风险，这时通过对它们各自方差的分析，方差越大，风险的波动越大。这样比较看，基金B的风险最小，同时收益上又比基金A相差较小，所以选择基金B来投资更加合理。

四、总结

随着当今社会经济的快速发展，运用数学模型进行经济的预测和问题的解决可以说已经非常普遍了，中学数学学习不仅仅是为了提高分数，而是为了可以更加熟练的运用数学基础知识和数学思维，将数学模型运用在现实生活中，有效的解决生活中关于经济的问题。数学知识在日常经济问题解答的应用中展现了很好地作用，学会通过数学思维来认识和思考问题是非常有意义的一件事情。其实知识和科学是源于生活中问题的解答的，同样要应用于日常生活的使用中。

参考文献：

[1]魏宗舒等编，概率论与数理统计（第二版）北京：高等教育出版社.

[2]徐国祥，刘汉良，统计学[M]，上海：上海财经大学出版社，2001.